Схемы применения определенного интеграла
Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины 
(площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком 
изменения независимой переменной 
. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка точкой 
на части 
и 
значение величины , соответствующее всему отрезку , равно сумме ее значений, соответствующих и .
Для нахождения этой величины можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).
Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
1. Точками 
разбить отрезок на 
частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина разобьется на «элементарных слагаемых» 
.
2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: 
.
При нахождении приближенного значения 
допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины в виде интегральной суммы:
3. Искомая величина равна пределу интегральной суммы, т. е.
Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.
Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:
1) на отрезке выбираем произвольное значение и рассматриваем переменный отрезок 
. На этом отрезке величина становится функцией : 
, т. е. считаем, что часть искомой величины есть неизвестная функция 
, где 
— один из параметров величины ;
2) находим главную часть приращения 
при изменении на малую величину 
, т. е. находим дифференциал 
функции : 
, где 
, определяемая из условия задачи, функция переменной (здесь также возможны различные упрощения);
3) считая, что 
при 
, находим искомую величину путем интегрирования в пределах от 
до 
:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования |
| Интеграл от разрывной функции |
| Вычисление площадей плоских фигур |
| Вычисление длины дуги плоской кривой |
