Оглавление:
Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными 
и 
, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать 
, где 
— знак рациональной функции.
Вычисление неопределенных интегралов типа 
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой 
, которая называется универсальной.
Действительно, 
, 
. Поэтому
где 
— рациональная функция от 
. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:
1) если функция нечетна относительно , т. е. 
, то подстановка 
рационализирует интеграл;
2) если функция нечетна относительно , т. е. 
, то делается подстановка 
;
3) если функция четна относительно и 
, то интеграл рационализируется подстановкой 
. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид 
.
Пример №32.1.
Найти интеграл 
.
Решение:
Сделаем универсальную подстановку 
. Тогда 
. Следовательно,
Дополнительный пример №32.2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Дробно-рациональная функция |
| Интегрирование рациональных дробей |
| Интегралы типа sin m x cos n x dx |
| Использование тригонометрических преобразований |
