Оглавление:
Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию 
. Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию 
в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция определена в некоторой окрестности точки 
и имеет в ней производные до (
+ 1)-го порядка включительно, то для любого 
из этой окрестности найдется точка 
такая, что справедлива формула
Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции . Эту формулу можно записать в виде 
, где
называется многочленом Тейлора, а
называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. 
есть погрешность приближенного равенства 
. Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию многочленом 
с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена .
При 
получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:
где 
находится между 0 и 
.
При 
формула Тейлора (26.3) имеет вид 
или 
, т. е. совпадаете формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений 
(см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы
Пример №26.2.
Найти число 
с точностью до 0,001.
Решение:
Запишем формулу Маклорена для функции 
. Находим производные этой функции: 
. Так как 
, то по формуле (26.4) имеем:
Положим 
:
Для нахождения с точностью 0,001 определим из условия, что остаточный член 
меньше 0,001. Так как 
, то 
. Поэтому при 
имеем
Итак, получаем приближенное равенство
т.е. 
.
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Формула Тейлора для функции |
| Формула Тейлора для многочлена |
| Геометрическое изображение комплексных чисел |
| Формы записи комплексных чисел |
