Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пусть функции 
и 
— две дифференцируемые в некотором интервале 
функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: 
.
Обозначим 
. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:
т. е. .
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: 
.
Пусть 
. Тогда
т. е. 
.
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции и дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому 
и 
при 
.
Можно показать, что:
а) 
, где 
;
б) 
.
Теорема 20.4. Производная частного двух функций 
, если 
равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: 
.
Пусть 
. Тогда
т.е. 
.
Следствие 20.1. 
.
Следствие 20.2. 
, где .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Касательная к кривой |
| Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции |
| Производная сложной и обратной функций |
| Гиперболические функции и их производные |
