Оглавление:
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция 
непрерывна на отрезке 
, принимает свое наибольшее значение 
в точке 
, а наименьшее 
— в точке 
. Для любого 
имеет место неравенство 
.
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения 
и 
, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между 
и 
.
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).
Для любого числа 
, заключенного между и , найдется точка 
внутри этого отрезка такая, что 
. Прямая 
пересечен график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой данная функция 
обращается в нуль: 
.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси 
на другую, то он пересекает оси (см. рис. 125).
Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения 
.
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке , а в интервале 
, либо функция на отрезке имеет разрыв.
Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось .
Пример №19.5.
Определить с точностью до 
корень уравнения 
, принадлежащий отрезку [0; 1], применив метод половинного деления.
Решение:
Обозначим левую часть уравнения через .
Шаг 1. Вычисляем 
и 
, где 
.
Шаг 2. Вычисляем 
.
Шаг 3. Вычисляем
. Если , то 
— корень уравнения.
Шаг 4. При 
если 
, то полагаем 
, иначе полагаем 
.
Шаг 5. Если 
, то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью 
) принимается величина . Иначе процесс деления отрезка
пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.
В результате произведенных действий получим: 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Точки разрыва функции и их классификация |
| Основные теоремы о непрерывных функциях |
| Скорость прямолинейного движения |
| Касательная к кривой |
