Оглавление:
Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Пусть функция 
и 
непрерывны на некотором множестве; 
и 
— любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения 
. Применяя теорему о пределе произведения, получим:
Итак, 
, что и доказывает непрерывность функции 
в точке
.
Теорема 19.2. Пусть функции 
непрерывна в точке , а функция 
непрерывна в точке 
. Тогда сложная функция 
, состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .
В силу непрерывности функции , 
, т. е. при 
имеем 
. Поэтому вследствие непрерывности функции имеем:
Это и доказывает, что сложная функция 
непрерывна в точке
.
Теорема 19.3. Если функция 
непрерывна и строго монотонна на 
оси 
, то обратная функция 
также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке 
оси 
(без доказательства).
Так, например, функция 
, в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений 
, кроме тех, для которых 
, т. е. кроме значений 
.
Функции 
в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.
Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.
Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример №19-4.
Найти 
.
Решение:
Функция 
непрерывна в точке 
, поэтому
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Непрерывность функции в интервале и на отрезке |
| Точки разрыва функции и их классификация |
| Свойства функций, непрерывных на отрезке |
| Скорость прямолинейного движения |
