Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Натуральные логарифмы
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.
Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность 
.
По формуле бинома Ньютона
Полагая 
, получим
или
Из равенства (15.3) следует, что с увеличением 
число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении число 
убывает, поэтому величины 
возрастают. Поэтому последовательность 
— возрастающая, при этом
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
Поэтому
Итак, последовательность ограничена, при этом для 
выполняются неравенства (15.4) и (15.5):
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность 
, имеет предел, обозначаемый обычно буквой 
:
Число называют неперовым числом. Число иррациональное, его приближенное значение равно 
. Число принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается 
, т. е. 
.
Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем 
. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:
Пользуясь десятичными логарифмами, находим 
. Значит, 
. Из этой формулы следует, что 
, т.е. 
. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Числовые промежутки |
| Предельный переход в неравенствах |
| Непрерывность функции в точке |
| Непрерывность функции в интервале и на отрезке |
