Оглавление:
Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть плоскость 
задана уравнением 
, а прямая 
уравнениями 
.
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол 
между плоскостью и прямой , а через 
— угол между векторами 
и 
(см. 80). Тогда 
. Найдем синус угла считая 
. И так как 
, получаем
Если прямая параллельна плоскости , то векторы 
и 
перпендикулярны (см. рис. 81), а потому 
, т. е.
является условием параллельностей прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства
являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
с плоскостью
Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:
Подставляя эти выражения для 
и 
в уравнение плоскости (12.19), получаем уравнение 
или
Если прямая не параллельна плоскости, т. е. если 
, то из равенства (12.20) находим значение 
:
Подставляя найденное значение в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда 
:
а) если 
, то прямая параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид 
, где 
);
б) если 
, то уравнение (12.20) имеет вид 
; ему удовлетворяет любое значение , любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств
является условием принадлежности прямой плоскости.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Уравнения прямой в пространстве |
| Прямая линия в пространстве |
| Цилиндрические поверхности |
| Поверхности вращения |
