Оглавление:
Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости 
задана произвольная прямая, не параллельная оси 
. Ее положение вполне определяется ординатой 
точки 
пересечения с осью и углом 
между осью 
и прямой (см. рис. 41).
Под углом 
наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси против часовой стрелки ось до ее совпадения с прямой.
Возьмем на прямой произвольную точку 
(см. рис. 41). Проведем через точку 
ось 
, параллельную оси и одинаково с ней направленную. Угол между осью и прямой равен . В системе 
точка 
имеет координаты 
и 
. Из определения тангенса угла следует равенство 
, т. е. 
. Введем обозначение 
, получаем уравнение
которому удовлетворяют координаты любой точки прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки 
, лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.
Число 
называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то 
и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид 
.
Если прямая параллельна оси , то 
, следовательно, 
и уравнение (10.2) примет вид 
.
Если прямая параллельна оси , то 
, уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент 
не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
где 
— абсцисса точки пересечения прямой с осью . Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно 
и 
в общем виде
где 
— произвольные числа, причем 
и 
не равны нулю одновременно.
Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.
Если 
, то уравнение (10.4) имеет вид 
, причем 
, т. е. 
. Это есть уравнение прямой, параллельной оси и проходящей через точку 
.
Если 
, то из уравнения (10.4) получаем 
. Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом 
.
Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
1) если 
, то уравнение приводится к виду 
. Это есть уравнение прямой, параллельной оси ;
2) если , то прямая параллельна оси ;
3) если 
, то получаем 
. Уравнению удовлетворяют координаты точки 
(0; 0), прямая проходит через начало координат.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Основные приложения метода координат на плоскости |
| Линии на плоскости |
| Прямая линия на плоскости |
| Окружность |
