Оглавление:
Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора 
, 
и 
, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1) перпендикулярен векторам и , т. е. 
и 
;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
где 
3) векторы , и образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается 
или 
.
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами 
и 
(см. рис. 18):
Докажем, например, что 
.
1) 
2) 
, но 
;
3) векторы и образуют правую тройку (см. рис. 16).
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. 
(см. рис. 19).
Векторы и 
коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки 
и противоположной ориентации). Стало быть, 
.
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. 
.
Пусть 
. Вектор 
перпендикулярен векторам 
и 
. Вектор 
также перпендикулярен векторам и (векторы , 
лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
и
Поэтому 
. Аналогично доказывается при 
.
3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. 
.
Если 
, то угол между ними равен 
или 
. Но тогда 
. Значит, 
.
Если же , то 
. Но тогда 
или 
, т. е. .
В частности, 
.
4.Векторное произведение обладает распределительным свойством:
Примем без доказательства.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Выражение скалярного произведения через координаты |
| Некоторые приложения скалярного произведения |
| Смешанное произведение векторов |
| Основные приложения метода координат на плоскости |
