Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось 
, т. е. направленная прямая.
Проекцией точки 
на ось называется основание 
перпендикуляра 
, опущенного из точки на ось.
Точка есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно оси (см. рис. 7).
Если точка лежит на оси , то проекция точки на ось совпадает с .
Пусть 
— произвольный вектор (
). Обозначим через 
и 
проекции на ось соответственно начала 
и конца 
вектора и рассмотрим вектор 
.
Проекцией вектора на ось называется положительное число 
, если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число — , если вектор и ось противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки и совпадают (
), то проекция вектора равна 0.
Проекция вектора на ось обозначается так: 
. Если 
или 
, то 
.
Угол 
между вектором 
и осью (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно, 
.
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора 
на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т. е. 
.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
(см. рис. 10).
Если 
, то 
.
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пусть, например, 
. Имеем 
, т. е. 
(см. рис. 11).
Свойство 3. При умножении вектора на число 
его проекция на ось также умножается на это число, т. е.
При 
имеем
При 
: 
Свойство справедливо, очевидно, и при 
.
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Системы линейных однородных уравнений |
| Линейные операции над векторами |
| Разложение вектора по ортам координатных осей |
| Скалярное произведение векторов и его свойства |
