Оглавление:
Обратное преобразование Лапласа
Теоремы разложения
Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению 
находить соответствующий ему оригинал 
.
Теорема 79.1. Если функция в окрестности точки 
может быть представлена в виде ряда Лорана
то функция
является оригиналом, имеющим изображение , т. е.
Примем эту теорему без доказательства.
Пример №79.1.
Найти оригинал , если
Решение:
Имеем
Следовательно, на основании теоремы 79.1 
.
Запишем лорановское разложение функции 
в окрестности точки :
где 
, т. е. 
. Следовательно, 
, т. е. 
.
Теорема 79.2. Если 
правильная рациональная дробь, знаменатель которой 
имеет лишь простые корни (нули) 
, то функция
является оригиналом, имеющим изображение .
Отметим, что дробь 
должна быть правильной (степень многочлена 
ниже степени многочлена ); в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения 
(п. 78.1), т. е. не может быть изображением.
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:
где 
— неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента 
этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на 
:
Переходя в этом равенстве к пределу при 
, получаем
Итак, 
. Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на 
) найдем 
.
Подставляя найденные значения 
в равенство (79.2), получим
Так как по формуле (78.3)
то на основании свойства линейности имеем
Замечание. Легко заметить., что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции в простых полюсах (формула (77.4)): 
.
Можно показать, что если — правильная дробь, но корни (нули) 
знаменателя имеют кратности 
соответственно, то в этом случае оригинал изображения определяется формулой
Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема 79.3. Если изображение является дробно-рациональной функцией от 
и — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал , соответствующий изображению , определяется формулой
Формула Римана-Меллина
Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид
где интеграл берется вдоль любой прямой 
.
При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле
Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.
Пример №79.2.
Найти оригинал по его изображению 
.
Решение:
Проще всего поступить так:
(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).
Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь: 
корни знаменателя 
и 
и, согласно формуле (79.1),
Пример №79.3.
Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как 
.
Решение:
Здесь 
— простой корень знаменателя, 
— 3-кратный корень (
). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:
т. е. 
.
Приведем другой способ нахождения . Разобьем дробь 
на сумму простейших дробей: 
. Следовательно, 
.
Приведем третий способ нахождения 
. Представим 
как произведение 
, и так как 
, то, пользуясь свойством умножения изображений, имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов |
| Свойства преобразования Лапласа |
| Действия над матрицами |
| Элементарные преобразования матриц |
