Оглавление:
Некоторые приложения степенных рядов
Приближенное вычисление значений функции
Пусть требуется вычислить значение функции 
при 
с заданной точностью 
.
Если функцию в интервале 
можно разложить в степенной ряд
и 
, то точное значение 
равно сумме этого ряда при , т. е.
а приближенное — частичной сумме 
, т.е.
Точность этого равенства увеличивается с ростом 
. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.
где
Таким образом, ошибку 
можно найти, оценив остаток 
ряда.
Для рядов лейбницевского типа
(см. п. 61.1).
В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют рад из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки 
берут величину остатка этого нового ряда.
Пример №65.1.
Найти 
с точностью до 0,001.
Решение:
Согласно формуле (64.5),
Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как 
, a 
, то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение примерно равно 0,84147.
Пример №65.2.
Вычислить число 
с точностью до 0,001.
Решение:
Подставляя 
в формулу (64.4), получим:
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем слагаемых и оценим ошибку 
:
т. е. 
. Остается подобрать наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство 
.
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при 
. Поэтому имеем:
Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена
где 
находится между 0 и 
. В последнем примере 
, 
. Так как 
, то 
. При 
имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
