Оглавление:
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные; приложения в математике и механике.
Длина кривой
Длина 
кривой 
плоской или пространственной линии вычисляется по формуле 
.
Площадь цилиндрической поверхности
Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости 
, а образующая параллельна оси 
(см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией 
находится по формуле 
.
Масса кривой
Масса материальной кривой (провод, цепь, трос,…) определяется формулой 
, где 
— плотность кривой в точке 
.
Разобьем кривую на 
элементарных дуг 
. Пусть 
— произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы 
дуги :
Суммируя, находим приближенное значение массы 
:
За массу кривой примем предел суммы (55.7) при условии, что 
, т. е.
или, согласно формуле (55.2),
(Заметим, что предел существует, если кривая гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке функцией.)
Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей 
и 
и координаты центра тяжести материальной кривой определяются по формулам
Моменты инерции
Для материальной кривой моменты 
инерции относительно осей , и начала координат соответственно равны:
Пример №55.3.
Найти центр тяжести полуокружности 
, лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой (
).
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси (см. рис. 236). Поэтому 
. Ордината центра тяжести
Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому 
.
Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности 
. Имеем:
Следовательно, 
. Итак, 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Некоторые приложения тройного интеграла |
| Вычисление криволинейного интеграла I рода |
| Вычисление криволинейного интеграла II рода |
| Формула Остроградского-Грина |
