Оглавление:
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями 
и 
:
где все коэффициенты 
— постоянные.
Будем искать частное решение системы (52.6) в виде
где 
— постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель 
, получим:
или
Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными 
. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнением системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно 
. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: 
. Для каждого корня 
напишем систему (52.8) и определим коэффициенты 
(один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:
- для корня
частное решение системы (52.6): 
; - для корня
- для корня
.
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (52.6) записывается в виде
Пример №52.3.
Решить систему уравнений:
Решение:
Характеристическое уравнение (52.9) данной системы имеет вид
или 
. Частные решения данной системы ищем в виде 
, 
и 
, 
. Найдем 
и 
.
При 
система (52.8) имеет вид
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим 
, тогда 
. Получаем частные решения
При 
система (52.8) имеет вид
Положим 
, тогда 
. Значит, корню соответствуют частные решения:
Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запишется в виде: 
.
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: 
. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида 
. Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень 
не даст новых линейно независимых действительных решений.
Пример №52.4.
Найти частное решение системы
удовлетворяющее начальным условиям: 
.
Решение:
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Для 
получаем:
(см. (52.8)). Отсюда находим: 
(положили), 
. Частное решение системы: 
.
Для 
получаем (см. (52.8)):
Отсюда находим: 
(положили), 
. Частное комплексное решение системы:
В найденных решениях выделим действительную 
и мнимую 
части:
Как уже отмечено, корень 
приведет к этим же самым решениям.
Таким образом, общее решение системы имеет вид
Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных 
:
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень 
кратности 
. Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:
а) если 
, то 
б) если 
, то 
Это решение зависит от 
произвольных постоянных. Постоянные 
определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим линейно независимых частных решений системы (52.6).
Пример №52.5.
Решить систему уравнений:
Решение:
Составляем и решаем характеристическое уравнение
. Корню 
соответствует система (см. (52.8)):
Полагая 
, находим . Получаем одно частное решение исходной системы: 
.
Двукратному корню 
() соответствует решение вида 
, 
, 
. Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
или, после сокращения на 
и группировки,
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
Выразим все коэффициенты через два из них (), например через 
и 
. Из второго уравнения имеем 
. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем 
. Из четвертого уравнения находим 
, т. е. 
. Из третьего уравнения: 
, т. е. 
, или 
. Коэффициенты и — произвольные.
Полагая 
, находим: 
.
Полагая 
, находим: 
.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню 
:
Записываем общее решение исходной системы:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
