Оглавление:
Достаточность
Пусть в области 
выполняется условие (48.19). Покажем, что существует функция 
в области такая, что
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:
Если в первом уравнении (48.20) зафиксировать 
и проинтегрировать его по 
, то получим:
Здесь произвольная постоянная 
зависит от (либо является числом). В решении (48.21) не известна лишь 
. Для ее нахождения продифференцируем функцию (48.21) по :
Используя второе равенство (48.20), можно записать:
Отсюда
В равенстве (48.22) левая часть зависит от . Покажем, что и правая часть равенства зависит только от .
Для этого продифференцируем правую часть по и убедимся, что производная равна нулю. Действительно,
в силу условия (48.19).
Из равенства (48.22) находим :
Подставляя найденное значение для в равенство (48.21), находим функцию такую, что
Таким образом, при решении ДУ вида (48.17) сначала проверяем выполнение условия (48.19). Затем, используя равенства (48.20), находим функцию . Решение записываем в виде (48.18).
Пример №48.11.
Решить уравнение 
.
Решение:
Запишем уравнение в дифференциальной форме:
Здесь 
. Проверяем выполнение условия (48.19):
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Условия (48.20) будут здесь выглядеть как
Отсюда имеем
Далее
Общим интегралом является 
, или 
, где 
.
Если условие (48.19) не выполняется, то ДУ (48.17) не является уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию 
, называемую интегрирующим множителем.
Чтобы уравнение 
было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие
Выполнив дифференцирование 
и приведя подобные слагаемые, получим
Для нахождения надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование 
как функции только одного аргумента либо только . Пусть, например, 
. Тогда уравнение (48.23) принимает вид
Отсюда
При этом выражение 
должно зависеть только от .
Аналогично получаем, что если 
( не зависит от ), то
а подынтегральное выражение должно зависеть только от .
Дополнительный пример №48.12.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
