Толстостенный цилиндр

Толстостенный цилиндр

Если круглый цилиндр со стенкой определенной толщины подвергается равномерному распределенному внутреннему и внешнему давлению, то вызванная ими деформация симметрична относительно оси цилиндра и не изменяется по его длине. Рассмотрим кольцо, вырезанное из цилиндра плоскостью 1, перпендикулярной оси, отделенной от другого 1-го блока (рис. 127).

• Из условия симметрии, вдоль края элемента 127. tpthpu (рис. 127, б) L, тангенциальное напряжение 2 осей и 2 концентрических цилиндрических плоскостей, извлеченных из этого кольца, не работает. c показывает окружное напряжение, действующее перпендикулярно плоскостям mx и pnx элемента, а a-радиальное напряжение, перпендикулярное плоскости mn.

Это напряжение изменяется с радиусом r, и величина этого изменения расстояния Ar равна (AAG / Ar) Ar. Поэтому нормальное радиальное напряжение^ thx вдоль грани будет равно 1.

Если спроецировать силу на элемент в направлении биссектрисы угла Au, то получится следующее уравнение равновесия: ТИЦ <7 <П + o4r-(ол ^(7л) (Р +Φ -)<ФП = 0,(а） Людмила Фирмаль

Или игнорировать небольшое количество более высокого порядка、 В. * °/- о,■-=0.(си） Эта формула включает в себя 2 неизвестных: напряжение c (и ar), а 2-я формула, необходимая для определения этих величин, получается с учетом деформации цилиндра. 。Деформация цилиндра симметрична его оси и состоит из радиальных смещений всех точек стенки цилиндра.

Это движение постоянно в окружном направлении, но радиус отличается. То есть, это только функция радиуса. если u означает радиальное смещение цилиндрической плоскости радиуса r、 Смещение на поверхности радиуса r — \ — Ar равно и -} —Ar В результате элемент mptx (Au / Ar) получает всю радиальную протяженность, равную Ar, и относительное удлинение этого направления x£ Четыре Ай’,.

• НАПРИМЕР, Ю. Г. » — Н •• Вт• Относительное удлинение одного и того же элемента в окружном направлении равно относительному удлинению соответствующего радиуса, т. е., * » * * .И. … 。 * 1-г ’ Том. I, p. исходя из уравнения 55 (38), уравнение деформационно-зависимого напряжения выглядит следующим образом: Е [ду•а\ Р = Л:: Р = vlrfr + / д) ’ (170） С Е И、\ а-1— / ДГ + (’д)’

Нормальные напряжения σ и σ^явно не являются независимыми, поскольку они могут быть выражены как функции b и u. подставляя выражение (170) в выражение (b), получаем следующее выражение, определяющее u: 』 。 ^ 4.± ^ _ Л = О-(Е） АР * * г Ар г г «и* Общим решением этого уравнения является и-С, Р-4—’ © Может быть проверена путем замены.

Константы Cx и C9 определяются из давления, то есть условий на внутренней и внешней поверхностях цилиндров, где известно нормальное напряжение. Заменять Решение уравнения (170)при получении )、「」、 это не проблема. (1 + 1») — С^], (К） °/ = Р4?[С «(1+»‘) + С», 1-7 ^]-(Ч> * , 9 Если RL и RI означают соответственно внутреннее и внешнее давление, то состояние внешней и внутренней поверхностей цилиндра Воля (og), ьb—pandand(o), » = — p ..(1）

Правильный признак каждого состояния отрицателен, потому что напряжение принимается как положительное нормальное напряжение. Людмила Фирмаль

Присваивая выражение ar(formula (S)) условию 0, получаем 2 формулы для определения констант Cx и C*. ^ 1 — ка ’ РШ-б * рН \ 1_1 + М, 6, (Р» —Пу) х # * * в Используя эти значения для любой константы, мы получаем нормальное напряжение из уравнения A и A © N (I1) общей формулы’). а голос.- РСР(Р. — РИ)А, Б Р-р-а-р *(я * —а ’) ’ (171 )） «- РП „я (Р. — Ри)°’ б Б>-это“+

Заметим, что сумма этих 2 напряжений остается постоянной. Деформация всех элементов в направлении оси цилиндра одинакова, а поперечное сечение цилиндра после деформации остается плоским. Это оправдывает взгляд на проблему как на плоскую. Здесь мы рассмотрим частный случай рН = 0, то есть когда цилиндр получает только внутреннее давление.

Тогда формула (171) описывается следующим образом: 。 Семьдесят два ■ , = р * * (’+м). о * » J) это решение впервые появилось в статье»Mémoire» хромого и Клапейрона. Сур л’équilibreintérieur сюр ле корпуса solides женщин, мэм. Диверсия, т. 4, 1833.. Эти уравнения показывают, что ar всегда является сжимающим напряжением, а in / — растягивающим напряжением.

Последний является самым большим на внутренней поверхности цилиндра и равен ^ / а \ ЛП(г> » Б / 174） Эта формула показывает, что (o/) max всегда численно больше внутреннего давления, и когда b увеличивается, оно приближается к этому значению. минимальное значение по х наружная поверхность цилиндра. Отношение _ о * + • (» / ) Ха. минусового 2а» Он увеличивается по мере увеличения толщины стенки цилиндра.

При относительно тонкой толщине нет существенной разницы между максимальным значением ot и минимальным значением ot. Например, если у вас есть 6 = 1.1 a, вы можете видеть, что проверка (<3/) является (< /) и превышает njn на 10.5%.Поэтому предположим, что растягивающее напряжение ot равномерно распределено по всей толщине стенки, и при использовании следующей формы погрешность будет невелика.

Лояльный м / = ДМ — ’(мальчик Это совпадает с 106-страничной формулой для тонкостенных цилиндров. Касательное напряжение максимизируется на внутренней поверхности цилиндра. _o, — cr _ _ 1 \ пн (зола + б*). ППА-уже) ох Пи>%… ■ ш-ш. Ж.-2-2 | БГ-о * й-БГ-в » 。Если на цилиндр действует только внешнее давление, то pb = 0, и Формула (171) имеет вид Ноль семьдесят пять） * = я-я^?(л + т). Ноль семьдесят шесть）

В этом случае σ и σ являются одновременно сжимающими напряжениями, и σ / всегда численно больше σ.Максимальное напряжение сжатия находится на внутренней поверхности цилиндра. ФОБ — » — Дж£$,. (177)） Интересно отметить, что с увеличением отношения b / a радиуса цилиндра это максимальное сжимающее напряжение приближается к 2-кратному значению внешнего давления, действующего на цилиндр, то есть к 2ПН.

Теперь рассмотрим деформацию цилиндра. Если вы присваиваете значение (j) любой константе в выражении (f)、 ,, -.— Г- * р * — б * ПН, 1 4-ри а * б *(Р1-/?Н Г ПГГ? Я Йо ДЖП-А *)Р *(178) Это дает радиальное движение к любой точке стенки цилиндра. Для частного случая цилиндра, который подвергается только внутреннему давлению (рН = 0), радиальное смещение внутренней поверхности, основанное на Формуле (178), равно <«*-¥（^ 5 +。-079 )）

Если баллон подвергается воздействию только внешнего давления(/?In = 0), радиальное смещение наружной поверхности равно 0 * 0） Знак минус указывает на то, что движение происходит в направлении оси цилиндра.

Смотрите также:

Учебник по сопротивлению материалов: сопромату

Устойчивость прямоугольных пластинок	Напряжение, вызываемое горячей посадкой
Выпучивание балок, не имеющих боковых опор	Вращающийся диск постоянной толщины