Оглавление:
Нормальные колебания непрерывных систем
- В этом разделе мы рассмотрим непрерывную систему со вторичной потенциальной энергией, в которой уравнения движения являются в этом случае мы проанализируем, как его можно внедрить Статистику обычных координат удобно использовать для решения задач физики, а способ получения частоты нормальной вибрации. Мы проанализируем эти вопросы достаточно подробно, так как заключение этого раздела потребуется позже. Во-первых, давайте рассмотрим самые простые example. It это стержень, который считается континуумом, как это делается в феноменологической теории упругости. Рассмотрим малую продольную вибрацию этого стержня.
Состояние стержня можно определить, установив смещение точки стержня£((в зависимости от положения x на стержне>r соответствующей скорости% (t, x).Уравнение движения стержня、 (20.1> Где c1= e / p, e-масса модуля упругости, а p-масса единицы длины стержня. Если стержень закреплен на обоих концах, а его копчик (x = 0 и z=£) неподвижен, то граничное условие принимает вид: (20.2> £(Т, О)= в *. я)-0. Используя известные методы решения краевых задач (разделения переменных), можно представить ξ (ξ, α), решение которого удовлетворяет граничным условиям (20.2), в виде следующего ряда Фурье. (20.3> Коэффициент q. определите состояние ядра (вместе с соответствующей производной по времени q) этого ряда.
Важнейшими функциями состояния при аксиоматическом построении термодинамики являются температура, внутренняя энергия и энтропия, вводимые в началах термодинамики, а также термодинамические потенциалы. Людмила Фирмаль
Поэтому их можно считать обобщенными координатами системы. Подставляя (20.1), мы проверяем, что q должно удовлетворять уравнению движения. Куда? д=,- (20.4） — Р’. 1, 2, 3… (20.5） Таким образом, каждая координата q совершает простое гармоническое колебание на частоте ω.Поэтому эти величины представляют собой обычные координаты системы.
Фактически, для всех нормальных колебаний средняя энергия равна kT WT / 2 за движение и kT / 2 против потенциала.Таким образом, энергия колебаний частоты указанного интервала равна £НДИ = *:почтовый индекс dg2 Далее мы переходим к рассмотрению колебаний непрерывной системы в трехмерном пространстве.Сначала рассмотрим простейший случай, в котором вибрация описывается скалярно-количественным волновым уравнением.
Предположим, что мы имеем скалярную величину φ, удовлетворяющую волновому уравнению (20.8） (c-скорость распространения волны), граничные условия на границе рассматриваемого объема φ= 0. (20.9） Электромагнитные колебания, удовлетворяющие уравнению Максвелла, и упругие колебания интересующего в будущем твердого тела можно разложить аналогичным образом, но здесь вы получите несколько более трудоемкое решение.
Формула(20.8) может быть получена из принципа Гамильтона Кроме того, предел t, изменение координат Сходится к нулю на границе объема V.Значение И затем Играют роль кинетическая энергия, количество Джей(Вт)4Р — Потенциал.Напротив, можно рассматривать U как аналог движения, K как аналог потенциальной энергии. Рассмотрим решение задачи о граничных значениях прямоугольного ящика, стороны которого£<, Lₜ, L,. граничное условие φ (4, x, y, z) (20.9) можно записать в следующем виде: φ (t,0,y, z)■=φ(α, ξ, y, z)= * 0,φ (1,x,0, z)■= t|: (α,x,Ln, z) -0,φ (t,x,y, 0) — φ (/, x, y, LJ-0. Для нахождения конкретного решения используется метод разделения переменных、 φ= г (т) г>(х, у, Z).
Чтобы удовлетворить уравнению (20.8) и граничному условию (20.9), уравнение должно быть выполнено. ？* ф + л * ф = 0(20.11） (Где k-постоянная константа) и границы φ (0, y, z)=φ (£h, y, z)= 0, φ (x,0, z)=φ(x, L0, z) » 0, φ (x, y, 0) — φ (x, y, L.)= 0、 Условия (20.12)） Также необходимо, чтобы q удовлетворяло дифференциальному уравнению. g +
- Для этого делаем следующее:волновое число присущей (нормальной) вибрации выражается в векторе k составляющих kx, k» k. Если принять K» k» k за координату пространства, то конец вектора k^, который соответствует собственному колебанию, представляется точкой положительного Октанта (p, o, m> 0) с координатами кратными π/ L, n/. L^, n /Lₜ, — другими словами, узлы пространственной решетки с единичной решеткой объема £7,£Л −77к Число точек, где волновое число k находится в интервале (fc, k + AL), явно равно числу точек пространственной решетки в сферическом слое между сферами радиуса k и k + bk.
Предполагая, что длина волны 2π / k, соответствующая k, очень мала по сравнению с размерами коробки/,,, La, L, Llk’dll / v, объем сферического слоя (1 Октанта) решетки равен y7G. As итог АРИЗОНА= (20.16） Таким образом, очевидно, определяется число различных стоячих волн с волновым числом между k и k + lc. Последнее может быть выражено в терминах frequency. In в нашем случае k =
При описании макросостояний используются функции состояния — это функции, однозначно определённые в состоянии термодинамического равновесия и не зависящие от предыстории системы и способа её перехода в равновесное состояние. Людмила Фирмаль
Конечно, легко видеть, что Sk способен на неточность порядка k, в AZ, для той степени правильности, что расчет, выполненный только что, верен.Где S-поверхность рассматриваемого объема.） * ) Для параллелепипеда, а также коробки любой формы число нормальных колебаний определенного частотного диапазона (в пределах колебаний, где длина волны очень мала относительно размера) заданной точности может быть показано не в зависимости от формы коробки, а только от ее количества, и задано формулой (20.17). Кроме того, при таком же приближении можно доказать, что выражение (20.17) получено и для других граничных условий.
Например, в случае граничного условия dfr / dn = 0, а не φ= 0, или в случае гравитационного условия, когда функция φ должна быть периодической с периодическими L, x, L, y и z, часто используется последнее граничное условие.Потому что в этом случае оказалось, что расчет будет проще. Также (20.17) следует из (20.16) только в том случае, если нет дисперсии (рассматриваемой) и первое a>пропорционально fc. Если нет, то вместо (20.17) в AZ вы получите более сложное выражение. Аналогичным образом можно решить проблему radiation. To сделайте это, представив, что излучение в вакууме заполняет пространство в сосуде. Это прямоугольная коробка с идеально отражающей стенкой зеркальной поверхности.
Тогда в поле векторы поля E и H удовлетворяют уравнению Максвелла crotE + H = 0, crotH-E-O、 (20.18） divH-0、 див е-0. Эти уравнения заменяют уравнение (20.8). в стенках коробки, которые считаются полностью проводящими, выполняются следующие граничные условия: касательная составляющая E и нормальная составляющая H равны нулю. Е, −0, Х.= 0. (20.19） Эти условия заменяют граничные условия (20.9). В этом случае, как и в рассмотренном выше случае, векторы E и H поля можно представить в виде суперпозиции плоских волн, волновое число которых приведено в Формуле (20.13).
Электрическая энергия gjjj-JÅ2dV (аналогичная движению) и магнитная энергия(аналогичная потенциалу) представлены обычными координатами Татке, такими как сумма 2 квадратов скорости и 2 квадратов координат. Однако в случае излучения вибрация является поперечной. каждое возможное значение k(.k » k » k) соответствует 2 стоячим волнам, а не 1 одной, которая имеет взаимно перпендикулярное направление колебаний. От них, добавляя, уже можно получить волну любой polarization. So, число собственных колебаний в АЗ с частотой интервала до в 2 раза больше, чем в случае скалярного волнового уравнения.
Смотрите также:
