Оглавление:
Об обосновании классической статистики с точки зрения классической механики
- Формулируя основные принципы классической теории равновесных состояний, мы лишь предполагали, что состояние системы можно определить по координатам и импульсу, а энергия системы является их специфической функцией. Теперь мы предполагаем, что отделенная система строго подчинена классической mechanics. In в свою очередь, закон временных изменений состояния системы известен, и среднее значение времени от любой функции состояния найдено в принципе.
Чтобы сначала прояснить задачу на простом примере, рассмотрим простую систему с 1 степенью свободы-гармонический осциллятор. Уравнение движения может быть легко интегрировано здесь, и долгосрочное среднее может быть вычислено в основном. Найдите его и сравните со средним микроканоническим. Гамильтонова функция осциллятора является Я = Г (₽* + <» ’» ） (Масса равна 1) [12], А Интеграл уравнения движения осциллятора имеет вид: (8.1）.
Используя сокращенную нотацию, вы можете записать эти уравнения следующим образом. Людмила Фирмаль
Из-за периодичности движения среднее значение функции F (q, p) за бесконечно долгий период может быть заменено средним значением за период 2 л / Вт или более Это зависит от энергии. Энергия Е имеет определенное значение. Не меняя величины последнего выражения, можно получить и получить средние значения Е в бесконечно малых интервалах Ф и J ^(^грех(т + р),/ 2£с COS <о(т + п)) д£. Теперь мы вносим изменения в переменную под интегралом. Переходите от E и t к q и p. используйте (8.1) для вычисления функции Определитель(Якобиан-определитель） У2 Совт£( » + ₽ ) грех» (» +₽ ₽ )） — <о1 /2Ësin < о ( » + ₽ ) cosш (t +₽）.
Совершив указанный обмен, находим F-plink2 ^’J U F fa ’P ^ dq dP’ < ⁸ — 3） Если консолидация распространяется на бесконечно узкую полосу Запросе QBE. (8.2) и между теми же постоянными кривыми энергии (эллипсами). Эллипсоид ПГ + + <я)2г = 2е и эллипсоид ПГ + <о * д! = 2 (Е+ЛЕ) (штриховка на рис.5) и равна нулю на внешней стороне этой полосы. Площадь полосы составляет =((Пенсильвания= =)` Итак, статистическое среднее для функции F (q, p) выглядит следующим образом: Ф(б-п)ых ДП- (8.4） Сравнивая (8.3) с (8.4), мы можем видеть, что среднее время согласуется с микроканоническим средним в этом примере. Вернемся к общей постановке вопроса.
Рассмотрим энергетически изолированную (консервативную) механическую систему. Интеграл дифференциальных уравнений движения (1.4) и (1.5) может быть решен относительно g *и pₖ, а следующий g * = » F «(t + P. P», P -. О…. a. может быть представлен). А-ФЛ+лЅ…. Р., Но» а,…. ля.) х-F(Е + П» П> …… С. С. …. ля.). (8.6）. Среднее по времени значение функции состояния системы F (X)равно «))». (8.7） Это среднее (мы всегда предполагаем, что предел формулы (8.7) существует), очевидно, вообще говоря, все 2n-1 интегральные константы p, {),…, p«, а, а₂ становится функцией от… а, а. разве что, это не зависит.
Как известно, усреднение по времени функций состояния дает «равновесные» (соответствующие термодинамическому равновесию) значения этих функций. Сравним выводы, сделанные о зависимости среднего времени от кинетической постоянной, с положением термодинамики, сформулированным в§ 5.Согласно этому утверждению, равновесное значение функции состояния (внутреннего параметра), то есть среднее время, зависит только от 1 константы (энергии системы).
Конечно, они зависят от внешних параметров, но в данном разделе мы не будем рассматривать эту зависимость, так как внешние параметры являются constant. So, чтобы удовлетворить указанному термодинамическому положению, необходимо предположить, что рассматриваемая молекулярная система обладает особым свойством, заключающимся в том, что среднее по времени однозначных функций состояния зависит только от значений анергических интегралов a, E. Поэтому нам необходимо соотношение Т(Х)=•/, (£). (8.8） Система с такими характеристиками называется эргодической системой*).
- Поэтому для удовлетворения требований термодинамики необходимо допускать эргодичность в рассматриваемой системе. Для эргодических систем среднее время функции состояния (distinct) равно статистическому среднему микроканонического распределения. Приводятся доказательства этого утверждения. Рассмотрим микроканоническое среднее конкретной функции состояния F (X) системы (соответствующее распределению, энергия которого равна E).О-по вызову Ф = $ ф(х)мы (Х) DX,(8.9） * ) Ясно, что система с 1 степенью свободы (если существует только среднее время) является эргодической системой.
Больше Мы(X） » Поскольку значение F от него не зависит, оно равно самому себе. Следовательно а(я(Х) — е} U (E） Время. Средний. Время. Ф-ф = Lim с г ^ Ф(Х)то (х) dtdX. (8.10） Переменная X считается переменной, которая определяет состояние системы в момент времени t и заменяет их переменной Xa, которая определяет состояние в момент времени i-0.Эти переменные связаны между собой отношениями(1.2). в этой нотации можно записать: Следовательно Х-Ф («, Х»）; F (X)= F [(t, X»)]. Кроме того, очевидно, LC)= LC>) потому что、 8 {I(X) — D) 8 {I(X₀) — £} Св(х) — — — — — — — — ojgj СВС-Ло）、 И по теореме DX = dXa Львова.
Установка плотности вероятности на постоянную (ненулевую) в полосе между двумя наборами дает микроканоническое распределение осцилляторов. Людмила Фирмаль
Поэтому, после того, как переменная измеряется、 Ф = Лим Дж ВБ(Xₒ)ф |Ф (т, х»)| ДТ дх». Изменение порядка интеграции И курица; тогда мы получаем F = j wE (Xo) dX » lim 1 p [Φ (t, Xo)] dt = J wE (X₉)FdXᵥ Однако, согласно эргодическому состоянию, среднее время Tz 0 > m энергия (LC0) только висит), то есть： К-МЖХ.）]、 Имея это в виду Тем не менее, ВБ (демонических) является ненулевым только для H-е. Под знаком интеграции, оно может быть принято от параметра= е. в результате、 Как таковой,/ ru） Ф = ф (£) J В мы (X₀)= f₀= Ф、 Доказано равенство средних величин. П | 1 / читтаз| ’ м Вт = С6 {U(х) — е}.
Также отметим, что бпркхофф поимара нашел необходимое и достаточное условие, которому должны удовлетворять фазовые орбиты эргодической системы). известен пример эргодической системы. Применяя статистику, следует иметь в виду, что в простейшей системе эргодическое условие явно невозможно. Например, в случае идеальной модели газа, содержащего невзаимодействующие частицы в сосуде с гладкими стенками(§ 1), энергия каждой частицы, как и полная энергия газа, является определенным интегралом движения, и от нее зависит среднее время.
Аналогичная ситуация наблюдается и для квазиупругой системы со многими степенями свободы (потенциальная энергия находится в форме 2-го порядка).И вот вам энергия каждого.[⁾ [ * ) Достаточно краткий и критический обзор: Хинчин А. Я. Математический квартал, — М.: Гостехиздат, 1943.] Статистическая теория Нормальная вибрация — это четкий Интеграл движения, который зависит от среднего времени. Тем не менее, мы будем применять выводы классической статистики к таким системам.
Это обосновывается, например, предположением, что в случае заданной газовой модели, когда вводится сила взаимодействия между частицами, система выполняет Эрго-городское условие. Из-за этого взаимодействие настолько мало, что соответствующая анергия считается пренебрежимо малой для всех расчетов, выполняемых в статистической физике(например, формула для микроканонического распределения).Поэтому в расчетах взаимодействие может быть незначительным. Кроме того, для квазиупругих систем (связанных осцилляторов) необходимо предположить, что система будет эргодической из-за введения очень малых нелинейных связей.
Смотрите также:
