Наилучшие оценки в случае матрицы неполного ранга

Наилучшие оценки в случае матрицы неполного ранга

• В моделях дис- дисперсионного анализа. Векторы Xi, …, xr в втом случае линейно МОИ ПО ВОЗДЕЙСТВИЯМ СРЕДИ системы Х | … хг не единственно. линейные комбинации неизвестных коэффициентов Qt, которые по 75 вектору МОЕ воссттанавливаются однозначно. Пусть r = 3, xi, х2 лииейио независимы, x3 = X! + X2. Х Х, х2 единствен- единственно, по требованию 8 | + 8з и 82 + 8з по вектору т \ восстанавливаются од- иозиачио. параметров и оцениваются в линейной модели с матрицей X не- неполного ранга.

, т.е. она является линейной функцией от координат вектора tj: Отсюда следует, что выполняются отношения А5), т.е. допускающих оценку параметрических функций аЭ ‘и только для они существуют линейные несмещенные оценки. выводе теоремы 1, при поиске наилучшей несмещенной оценки можно ограничиться такими линейными условиями bY ‘, что вектор beV, т.е. имеет место представление A6) и при этом выполнено условие несмещенности A5).

Параметрическая функция аЭ ‘называется допускающей оцен- оценить (или оцениваемой), если ее значение восстанавливается по вектору 11 = в | Х1 + … + вгХг Людмила Фирмаль

• Действительно одни, если би и Ь2 удовлетворяют А5), то для их разности получить (b, -b2) x / = 0, i = l г. B1) Но в би, b2 лиияио выражены через систему Х |, …, хг, поэтому условие ортогональности B1) приводит к выводу b | = b2. Следовательно, взяв любое решение системы A7) и подстав- подставляя его в A6), мы нашли вектор линейной несмещенной оценочной аЭ с минимальной дисперсией. Итак, получена следующая Теорема 2 (Гаусс, Марков).

Если матрица X линейной мо- модели имеют неполный ранг, то линейные несмещенные оценки су- существуют только Оля таких параметрических функций ав ‘, что вектор является линейной комбинацией строк матрицы X; в этом случае существует единственная несмещенная оценка b *

Y ‘ с минимальной дисперсией. проектированию на V несмещенной оценки, либо подстановкой любого решения системы A7) в формулу A6). Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет статистики

Примеры линейных моделей	Наилучшие оценки как оценки наименьших квадратов
Линейная статистическая модель	Вероятность и частота