Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр

Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр

• Разделение, алгебра и независимость a-алгебры Определение 5. Пусть у — система множеств. Минимальная алгебра множества Сдвиг V «называется алгеброй, порожденной системой у. oAlgebras определяются в интерактивном режиме. Генерируется y как наименьшая a-алгебра, содержащая y.

• Если вы хотите получить раздел A, раздел A, A2, .An, то есть такой набор — A, +; + Ai + •• + ​​Для An = Q и AiAi = 0 для iΦ / легко видеть, что алгебра i5tf (a), порожденная разбиением a, конечна (то есть содержит только конечный набор чисел). вы. Состоит только из пустых наборов и наборов форм Ai {+ Ait + … + цель. Обратное утверждение верно.

Теорема 5. Каждая конечная алгебра множества порождается разбиением. Людмила Фирмаль

Доказательство. # Является алгеброй конечных событий. Показывает набор всех B в сои B. Ввести = P для каждой сои Q Указывает, что либо ωΦω’B0 = B ^ 9, либо либоЯ «// a = 0. Для co∈Q и Be # выполняются следующие свойства: Для coB это Bw € B. coeBw ‘; затем BttsBe’. Кроме того, для co’eBc, BW’SBW и, следовательно, BW ‘= BW. Случай (|) ‘eBy невозможен, поскольку он приводит к несогласованности B ^ s Bw (и уже доказано, что Btt G BJ.

Выберите из различных множеств B, B2, Bg из B3 .. + B, = Q и B \% s4> i, sin независимы, только если порождающие их разбиения не зависят от α ^ 2. ••• » Доказательство. Независимость si и «… означает независимость, потому что разбиение, которое производит sit, является подсистемой sti, т.е. / ^ sii ,, …, Ял.

• Поскольку каждая A e sii является суммой попарно несовместимых событий из aI, противоположный вывод сделан из следующей леммы. Лемма 1. D. Если события A и B независимы, события A и B также независимы. 2 °. С 1 Доказательство. 1 °. Независимость A и / J P (YL) = P (B \ AB) = P (B) -P (LA) = = P (Y) -P (L) P (B) = P (B) (1-P (A)) = P (B) P (71), Другими словами, B и A также независимы. 2 °.

Так как £ и В независимы, существует P (A / B) = P (A /) P (B), из которого P ((A, + A2) B) = P (A, B) + P (A2B) = P (L,) P (B) + P (A2) X XP (B) = (P (A1) + P (A2)) P (B) P (A1 + A2) P (B) То есть A \ -f A2 и B независимы. Результат Каждое событие A порождает разбиение A + A-Q, порождая алгебру si (A).

Лемма 1 означает, что независимость события LA эквивалентна независимости алгебры sf (A ) t si (An), порожденной им. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Формула Байеса	Независимые испытания
Независимость событий	Случайные величины. Индикаторы