Оглавление:
Особенности построения характеристического полинома на ЦВМ
- Возможность построения характерных полиномов на цифровых компьютерах Чтобы проиллюстрировать трудности, возникающие при решении этой проблемы на цифровом компьютере, рассмотрим несколько особенностей, которые приводят к уравнению (6.5) до формы (6.7). Разверните характеристический определитель | Для A-XE / получите уравнение n-го порядка. V «+1 + a.2Xn ~ 2 + Где I — сумма всех первичных диагональных миноров, равная следу SpA. а — сумма всех диагональных миноров второго порядка матрицы А. an является определителем матрицы A.
) эквивалентно вычислению. D1 + k 4- ••• + Да = 2 «-1 Детерминанты различных порядков. Если значение n большое, эта задача требует больших вычислений. В связи с этим был разработан специальный метод расширения факторов характеризации в обход расчета многих диагональных майнеров (А. М. Данилевский, А. Метод Н. Крылова, интерполяция, Леверье — Фаддеев и др.) , А является наиболее экономичным с точки зрения количества операций. М. Данилевский путь. Суть в том, чтобы привести детерминанты AI -X «12- 21 A-XE | =
Число k-ro диагональных миноров порядка A равно l * _ i (i-1) … (n-fe + 0 Следовательно, прямое разложение определителя и приведение его к форме (6.7 Людмила Фирмаль
Так называемые нормальные виды фробениусов но 1 р в а22-х … а но рп а. , -Я а2 … а * 1-X … 0 0 0 1 0 0 0 0 1-X Нетрудно разработать детерминанты, записанные в обычной форме Фробениуса. Разверните определитель первого ряда элементов, чтобы получить характеристический полином + Или Нетрудно убедиться, что элементы в первой строке матрицы Фробениуса являются коэффициентами характеристического полинома. Переходы от матрицы A к аналогичным матрицам Фробениуса выполняются с использованием преобразований подобия. A = S_1AS, + Где S — невырожденная матрица, которая последовательно преобразует строки матрицы A от конца к соответствующим строкам матрицы A.
При расчете коэффициента характеристического полипа на станке рекомендуется частично проверить точность рассчитанного коэффициента и проконтролировать выполнение соотношения + a22 + —- \ -app = SpA. Несмотря на экономичность, этот метод чувствителен к вырождению (исчезновению) промежуточных детерминант. Например, Построение стабильных областей в пространстве параметров может быть очень утомительным, если программе нужно иметь дело со многими различными случаями, когда ей нужно анализировать большое количество точек в пространстве.
- Метод, предложенный А. Н. Крыловым, состоит из предварительного преобразования уравнений. Φ (X) = | A-Да Равный ему bxx— \ b X2 b 12 N } 2P D (X) = ’21 22 B „, -X» b P2 стр Поскольку в первом столбце детерминант можно разбить на младшие, разложение по степени K намного проще. Этот метод чувствителен к определению вырождения, а рассчитанные коэффициенты немного менее точны. Метод Леверье-Фздеева нечувствителен к детерминанту вырождения. Расчетная схема состоит из последовательности построения A, = A; a, = SpA ;; C, = Aj-a, E; A3 = AB ;; ag = SpA2 / 2; C2 = A2-o> E, Dy = AB ^ ;; an = SpA „/ n \ NW = A„ -anE. Значение, полученное для ai an, является коэффициентом характеристического полинома. A (X) = (-1) n | A-XE | = I «+ aX’1 + ••• + <!„.
Отметим, что наряду с вычислением коэффициентов характеристического полинома мы можем построить обратную матрицу A «1 = Сл_ | / ap. Число около (n — l) / i3 Когда этот метод реализован на цифровом компьютере, в операциях с использованием матриц более высокого порядка может возникнуть переполнение битовой сетки, и необходимо ввести масштабирование. При расчете последовательности матрицы Cn ошибки накапливаются при округлении.
Это увеличивается с увеличением порядка матрицы, потому что вычитание значений очень близко друг к другу приводит к исчезновению последней значащей цифры. Людмила Фирмаль
Эго приводит к тому, что для больших порядков матрицы A коэффициенты характеристического полинома вычисляются с низкой точностью. Накопление ошибок начинается с 7-го по 8-й порядок и увеличивается с увеличением n. Если указана структурная схема системы, для каждой ссылки существует передаточная функция, передаточная функция определяется в соответствии с обычными правилами преобразования структуры схемы.
Нет принципиальных трудностей в построении характеристических полиномов. Однако при ручных расчетах это утомительный расчет и приводит к ошибкам. При постановке задачи на цифровом компьютере передаточная функция каждого звена представляется полиномом второго порядка или меньше. Характеристический полином системы можно записать в виде P (a) = fl (Aks5 + Bks + Cfc). * = 1 Программа должна открывать скобки и принимать таких участников. Построение передаточных функций с использованием топологических методов очень перспективно. Например, используя методы теории графов, вы можете получить передаточную функцию, чтобы вы могли получить характеристический многочлен сложной системы со скрещенной обратной связью. Реализация этих методов на цифровых компьютерах описана в специальной литературе.
Смотрите также:
Примеры решения задач по теории автоматического управления
