Оглавление:
Основные теоремы теории вероятностей
- Основная теорема теории вероятностей Опытный человек Данные или соображения, основанные на симметрии (монеты), Но такое прямое определение вероятности очень Поскольку он ограничен, вы действительно должны иметь дело с этим Простое, но очень сложное событие. Поэтому основное содержание теории вероятностей Результаты разработки методов и методик для расчета сложных вероятностей.
- Событие, основанное на известной (основной) вероятности. Для этого предназначена основная теорема теории. Вероятность. Теорема сложения вероятностей (для несовместимых событий) Вероятность, если A и B — два несовместимых события Один из них (какой бы он ни был) будет равен их сумме Вероятность: ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЙ „в = Р (а, + Р (в) (теорема« Либо или »). (3.86)
Несовместимые события Одно появление исключает другое. Людмила Фирмаль
Например, положительный или Отрицательный результат этой хозяйственной сделки. Совместные мероприятия не Устранить друг друга. Например, положительные результаты операции В то же время фактическая стоимость низкая. Пример 3.15 Возможность того, что купленный товар будет изготовлен Италия, Pu = 0,4, тот факт, что он был произведен в Турции, RT = 0,3.
Насколько вероятно, что продукт будет изготовлен Из этих стран они в Италии или Турции (RIILT)? Решения Применить теорему сложения вероятностей. Pu p = Pu + Pt = 0,4 + 0,3 = 0,7 T или & » ‘ Следствие 1. Общая вероятность несовместимости Возможно только одно событие. Единственное возможное событие, если оно происходит, по крайней мере, обязательно в результате теста Один из них Сформируйте полную группу событий.
Результат 2. Вероятность противоположного красного события Эквивалент 1 минус вероятность самого события: P (1) = 1-P (L) Конфликтующие события — два несовместимых Единственное возможное событие. Пример 3.16 Деньги и одежда лотереи в серии 10000 билетов Приходилось 120 денежных и 80 выигрышей одежды.
Найти вероятность: 1) Получите приз (P). 2) Получите награду за одежду (P). 3) Вообще победа (P ^), 4) Я ничего не могу выиграть (Рничего). Решения Rden = 120 = 0) 012. Ден 10000 Ρ = _ *! L = 0,008. 10000 P- = 0,012 + 0,008 = 0,02 Вообще » ‘ 1 = 1-0,02 = 0,98. Ничего » Теорема умножения вероятностей Если A и B являются двумя совместными независимыми событиями.
Вероятность того, что оба эти события произойдут, Вероятностное произведение (теорема «а-а»): Ρ (Λ „Β, = Ρ (Λ, ・ ρ, Β, ・ (3-88) Независимые события Вероятность того или иного из них не зависит от того, произошло ли другое Нет, событие вызывается при изменении вероятности в этом случае Зависит от Например, возможность своевременного получения Возможность того, что груз и упаковка груза не будут повреждены.
Пример 3.17 Вероятность своевременного получения потери груза = 0,8, а Вероятность того, что грузовая упаковка не будет повреждена, Ρ = 0,7. Какова вероятность того, что предмет будет получен Своевременно с неповрежденной упаковкой (Rsn)? Решения Ρ = ΡΡ = 0,8 ・ 0,7 = 0,56. sn sp un » ‘ Теорема умножения вероятностей Есть более двух событий.
Вероятность простого события (фактор) Если они одинаковы, достаточно увеличить эти вероятности вместо умножения Соответствующая степень: (А и А) (А) (А) (А) v ‘ На самом деле, вам часто приходится иметь дело с наркоманами Событие. В этом случае вероятность рассчитывается как: «(A и B) ~» (A) ‘(B / A) ~ (A / B)’ «(B) ‘(Z. UT) Здесь, предполагая, что Ρ является условной вероятностью события B.
Это событие произошло. Пример 3.18 Вероятность полета Rl = 0,9, а вероятность Груз будет доставлен под влиянием летной погоды Своевременно, … = 0,8 ‘s / l’ Насколько вероятно, что продукт будет доставлен Своевременно (ПК)? Решения Ρ = Ρ ・ Ρ, = 0,9 ・ 0,8 = 0,72 l s / l » ‘ Теорема сложения вероятностей (для совместных событий) Для совместных событий теорема сложения вероятностей.
Применяется следующим образом: Ρ (α ™ β) = Ρ (λ, + Ρ (β) ・ (1-Ρ (λ,)) (3-91) Или то же самое Ρ (Λω „Β) = Ρ (Λ, + Ρ (Β, -Ρ (Λ, · Ρ (Β) · (3-92)) Пример 3.19 Ваш автомобиль оснащен двумя противоугонными устройствами Устройство: механическое и электрическое. механический Вероятность срабатывания составляет 0,9 (то есть из 10 раз В среднем 9) вероятность срабатывания составляет 0,8 для электроэнергии.
- Какова вероятность того, что ваша машина не будет угнана? Решения Указывает механическую вероятность Противоугонное устройство с RM и Electric-Re, Церемония совместного мероприятия получает: HSE = PM + Pe (1-P2) = 0,9 + 0,8 (1-0,9) = 0,98 или 98%. Полная формула вероятности На самом деле, как правило, вам нужно иметь дело с Несколько вариантов мероприятия.
Каждый уникальный Вероятность. В этом случае, так называемый полный Вероятность события. Она считает Дается по формуле: η Ρ (Α) = ΣΡ (Η 、) ・ Ρ (Α ^ 、) ‘(3.93) я = я Где P (H) — вероятность варианта или вероятность гипотезы. P (A / n,) ~ Вероятность события обусловлена этой гипотезой (необязательно).
Пример 3.20 Два вида экономической деятельности. Людмила Фирмаль
Предприниматели должны в то же время достичь одной общей цели Вероятность успеха: Р = 0,8, P2 = 0,4. Мне нужно рассчитать вероятность достижения моей цели Предприниматель (РЦ). Решения Сначала найдите вероятность возможного варианта Вероятность целевого события (гипотеза P (n4>) 1 — ни одна операция не была успешной (1-0,8) — (1-0,4) = 0,12; 2-оба преуспели 0,8 ・ 0,4 = 0,32; 3-
Первое не удачно, второе не 0,8 · 0,6 = 0,48. 4-первая неудача, вторая успешность 0.2.0.4 = 0.08. Сумма: 1,00. Затем найдите вероятность успеха для каждого варианта (P (AUN)): 1-0 провал 2-1 успех 3-1 Успех 4-1 Успех. Согласно формуле общей вероятности: η «« = ΣΡ (η,) ‘ρ (αλι1) = 0,12 ・ 0 + 0,32 ・ 1 + 0,48 ・ 1 + 0,08-1 = 0,88 я = я Используя полную формулу вероятности Важная байесовская формула.
Иногда формулировка называется Теорема о гипотезе. Байесовская формула (теорема о гипотезе) Вероятность события, основанного на этой гипотезе, равна Вероятность гипотезы перед экспериментом, умноженная на вероятность этого события Разделите гипотезу на общую вероятность, рассчитанную позже Опыт работы: ΡΡ _ _ G (N.) G (A / N.) G (H, / A) до η 1P Пример 3.21
В условиях предыдущего примера, после установления факта Чтобы добиться успеха, нужно определить его вероятность Успех был достигнут как первый результат или второй результат Операция. Решения Согласно формуле Байеса, вероятность успеха Достигнуто в результате первой операции: ρ = Wi = Mi = o86 (N, / A) 012.o + 0.320 + 0.481 + 0.081 0.56 ‘ P (n, / a) = -bm = 0,14 И как второй результат: 0,08 -1 0,56 В результате вероятность согласно этим гипотезам.
Для большей вероятности увеличьте и ответьте на них Это соответствовало меньшей вероятности снижения. Вероятность того, что событие произойдет во время повторения эксперимента На практике эксперименты часто повторяются одинаково Условия. Для таких проблем должна быть возможность определить вероятность заранее.
Возможные комбинации событий. Пример 3.22 Вероятность выигрыша в определенных ситуациях 0.3 = 0,3 к бирже в течение дня Q = 1-0,3 = 0,7 соответственно. Каковы возможные варианты событий в обменной игре? Та же ситуация в течение 2 дней (n = 2)? Решения Возможные события: 1- Оба дня выигрывают с 0,3-0,3. 2-1 день побед, 2-й день потери 0,3 и 0,7. Убыток в день 3-1 и прибыль 0,7 / 0,3 в день 2. 4- Оба дня потеря 0,7 / 0,7.
Вероятность полной группы событий равна 0,3 ・ 0,3 + 0,3 ・ 0,7 + 0,7 ・ 0,3 + 0,7 ・ 0,7 = 1 Или p2 + 2pq + q2 = (ρ + q) 2 = 1. Это биномиальное выражение Ньютона. Вы можете найти все в нем Возможные комбинации событий при повторении эксперимента: η (P + q) «= EPm.» ‘(3.95) м = 0 Где П. „= C ™ pmqD-ra ・ (3-96) C m является комбинацией η по отношению к m (см. § 4 в главе 2).
Комбинация относится к числу возможных комбинаций События независимо от последовательности. Пример: С2 ^ 3! = 3-2-1 = 6 = 3 3 2! (3-2)! 2 1 (1) 2 Пример 3.23 Скорее всего: 1) Первое, что бросилось в глаза по прибытии Здесь живет только Москва Город друзей. 2) Угадаете ли вы 6 номеров из 49 в лотерее? (Попробуйте сначала Посмотрите на эту проблему своими глазами. )
Решения 1) Вероятность первого столкновения Люди — твои единственные друзья в этом городе, когда ты приезжаешь в Москву, Равный: 1 1 Население москвы 8,4 млн 2) Вероятность угадать 6 из 49 лотерей Уравнение вероятности эквивалентно: -C649 составляет 49 комбинаций Верхний пункт. * 49! С * = = 13,9 млн 49 6! (49 -6) 1 Таким образом, вероятность угадывания равна 1 миллиону. Примерно в 1,5 раза меньше.
Вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз rt> 1 = 1-yn> или ρ> ι = ι- (ΐ-ρ) η. Пример 3.24 р = 0,2; п = 2. Решения Pm = 1- (1-0,2) 2 = 1-0,82 = 1-0,64 = 0,36 Когда вероятность события отличается Тест для тестирования: Rig = 1-0-p,) 0-p2) Для практических расчетов, приблизительный Формула. от PBi = I- (I-P> *. (3-97) (1-р) «= (1-P) «E с того времени lim (l + л (3,99) Если e’pr постоянно расширяется, -ι »ι (-ir) ‘(~ nR) 2 (_nR) 3 er «1 + -—— + -—— + -—— it.d. 1! 2! 3!
Для реальных задач достаточно грубой оценки Ограничение до первых двух членов. е ^ р «1-пр; Ρ ^, »1- (1-ηρ) = ηρ. (3,100) Пример 3.25 В партии из 9 продуктов 2 бракованные. Является ли вероятность случайной выборки Четыре продукта имеют дефекты. 1) Один. 2) 2; 3) Не мало Один (хотя бы один)?
Решения По вероятностным и комбинаторным уравнениям: я) P, = с1 с3 2 ‘7! Где C1-1 — комбинация двух элементов: C; = -L, C7 =, 2 2 11 3! 4! 9 4! 5! Подставляя значение комбинации в формулу вероятности, Мы получаем: я) р, = А 1126 С2 С2 21 ‘2 C «126 P_C2 ° -C7_35 0 С * 126 ‘ 3) P „= 1-P0, г 126 126 Из (3.97) следуйте важным формулам для практики. lg (l-p) (ZH>
Пример 3.26 Вероятность получения высокой прибыли Коммерческая организация составляет 30% (из опыта). Количество операций, необходимых для приобретения Это прибыль 90% шанс? Решения Согласно уравнению (3.101), требуемое количество операций (р) Равно: log (1-0,9) log0, l 1,0 -1,0. n = — ^ ^ — = -5— = —-— = = 6 операций.
Смотрите также:
| Динамическое программирование (планирование) | Случайные величины и их характеристика |
| Теория вероятностей и математическая статистика. Основные понятия | Числовые характеристики случайных величин |
