Оглавление:
Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы
- Орто-дискретные и конечные подгруппы Группа. На данный момент мы не будем стремиться к полноте. Презентация. Попробуйте найти персонажа, используя другой пример Характеристики нескольких подгрупп ортогональных групп. Конечные и дискретные подгруппы группы 0 C) Они важны в кристаллографии.
- 1 °) Рассмотрим двумерную ортогональную группу 0B). в Эту группу можно выделить по отдельной подгруппе включения Угол кип, k = 0, = b 1, ± 2, … Пусть буква а обозначает элемент этой подгруппы, который соответствует k = + 1 Далее, очевидно, элемент a / соответствует вращению выше. Для угла k (k> 0 p равно a /.= a • a … .a.
Во времени Запишите это в следующем формате: ak = ak, k = 1, 2, … Людмила Фирмаль
Когда символы от а до 1 обозначают обратный элемент элемента а (A является элементом, соответствующим повороту на угол -φ), а единица рассматриваемой подгруппы обозначена как ao. Отрицательный, положительный, ноль k коп, ctk Может быть написано как ak = ak, k = 0, ± 1, ± 2, … (9.19) Может быть представлен как группа, элемент а /, (9.19) называется циклическим. Очевидно, круговая группа дискретна.
Обратите внимание на два типа поворотов подгрупп поворотов. 1) Для φ27rp / q, p и q являются целыми числами (то есть угол не соизмерим) в) Все элементы а / разные. 2) Когда ep = 2mr / d, p и q — относительно простые числа Отношение а ^ + г = а /. Необязательно, т. Е. Aq = a0. Группа, которая содержит последние отношения называется Циклическая группа порядка q.
2 °) Обратимся теперь к так называемой зеркальной подгруппе. Симметрия. Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов tov: единица (преобразование идентичности) и отражение или относительный Относительно любой плоскости или происхождения. Проверьте преобразование личности и отражение Создать группу очень легко.
- Последовательное отражение обеспечивает такое же преобразование ( Пример 7§2§1) этой главы. Например, рассмотрим подгруппу {I, P} группы 0 C) От объединения 3D пространства I и отражения P Но происхождение. Для ортонормированного базиса эта матрица P / \ -10 0 Формат преобразования P = 0-1 0 \ А а-1 Поскольку определитель det P = -1, подгруппа {I, P} имеет вид Непатентованное.
В пункте 2 § 1 примера 7 этой главы Группа {I, P} изоморфна группе остатков Z ^ по модулю 2. Давайте докажем это утверждение: Рассматриваемая подгруппа {I, P} нормальная Дивизор подгруппы группы С. 0 Ты должен доказать это для любого элемента а из в)
Управляется соотношением О! = 1a, aP = Ra (9,20) (Это отношения между левым и правым соседними классами Подгруппы {I, P} совпадают. Людмила Фирмаль
Это признак нормального Littelfuse). Первое соотношение (9.20) ясно. Чтобы доказать второе отношение, используйте Очевидные свойства отражения P: PP = I, PaP = a, ae 0C). Используйте левый коэффициент PaP, умноженный на P Получить свойство PP = I, второе отношение (9.20). Докажите следующее утверждение: Соответствующая ортогональная трансформация подгруппы SOC)
Группа OC) фактор-группа того же типа, что и группа OC) фактор-группа M-й делитель {I, P}. Доказательство. Класс смежных элементов a50C) Группа {I, P} имеет вид {a, Pa}, где Pa — неподходящее преобразование Формирование (продукт правильного преобразования и неправильного Преобразование P делает неподходящее преобразование).
Если «неуместное преобразование, coset {a», Pa7} сводится к форме {a, Pa}. Где a = Pa ‘уместно Формация и Pa = P (Pa ′) = (PP) a ′ = a ′. Следовательно, фактор-группа O C / {I, P}) смежна {а, Па} класс. Где это соответствующее преобразование. по-видимому Однако соответствие a • <-> ¦ {a, Pa} должно быть одного типа между группами SO C) и O C) / {I, P}. Предложение доказано.
Смотрите также:
| Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы группы GL(n) | Группа Лоренца |
| Группа ортогональных преобразований | Унитарные группы |
