Оглавление:
Примеры тензоров
- Пример тензора. 1 °) Нулевой тензор. Следует различать тензоры типа (p, q) следующим образом: Это называется нулевым тензором. Это координаты База равна нулю. Очевидно, что соотношение (8.19) выполнено. Если тензорная координата A равна 0, Или, согласно основанию (8.19), они равны нулю основания.
- И, Следовательно, A является нулевым тензором. 2 °) символ Кронекера. Тип А тензор А, 1) Это у основания е ^ координаты Sf и становится базой е ^ координаты Вы SF! Итак, пусть A — тензор с e ^ координатой на этой основе Вы 5f. Найти координаты этого тензора на основе е ^ Следует использовать формулу (8.19), т.е. координаты тензора А В основном е ^ равно b \ b \, Sf.
Используйте свойства символа Кронекера b% b \, 5f = b% b \, -5f, ‘получается. Людмила Фирмаль
Таким образом, в новом базисе е ^ тензорные координаты действительно нам сф. Поэтому символ Кронекера можно считать тензорным Тип А, 1). 3 °) A (x, y) — билинейная форма, заданная в конечных размерах Евклидово пространство En, ei, B2, …, en-some базис В этом пространстве. Тогда векторы х и у Форма x == ге;, y = yjej. Используйте форму A (x, y) линейные свойства для каждого аргумента.
Что можно написать A (x, y) = A (xi y y ej) = A (e e e) xlyJ A (ei, ej) ctij = A (ee,). (8,23) Тогда форма A (x, y) может быть записана как: A (x, y) = ojU- (8,24) Коэффициент матрицы aj формы A (x, y) равен Переход на новый фонд будет преобразован в соответствии с законом (8.19) — Тензорные координаты типа B, 0), т. Е. Тензорные Тип Б, 0). Рассмотрим любую базу e ^, b2 ‘, …, en /.
Напиши это Форма A (x, y) базис A (x, y) = auuhg y1 и форма (8.24) aifj = A (ei4 er). (8,25) Переходите от базиса ei, b2, …, en к новому базису ei>, b2 ‘, …, en /. Пусть b1 обозначает матрицу перехода от базы е ^ к базе е ^ Что такое e ^ = b \, ei, eji = b ^ ej. Замените е ^ и е ^ в правой части (8.25) этими выражениями, Используя линейные свойства формы A (x, y) для каждого аргумента, Найти ?? = A {b \, e ^ bi, ej) = b1, b ^, A (e ^ e ^).
Последнее отношение можно переписать по формуле (8.23) di> j> = b \, bJ-, aij. Следовательно, коэффициент матрицы переменного тока в билинейной форме Преобразование тензорных координат для преобразования в соответствии с законом (8.19) na B, 0) и поэтому можно считать координаты тензора.
Этого типа. 4 °) для каждого линейного оператора, определенного в конечных измерениях Действуйте в том же пространстве, что и Space En, и мы можем опубликовать Конкретный тензор типа А, 1) и ассоциировать этот тензор Указанный оператор полностью определен. Пусть y = Lx — линейный оператор, определенный En и ei, B2, … … Эп является основой Эп. χ = χe ^ и y = y ^ ej, а L линейно Оператор yiej = xiL {ei). (8,26)
Разложим вектор L (e ^) относительно базисов ei, b2, …, en. Заменить полученную формулу на L (e ^) в (8.26) Уникальность базового расширения получим yj = a \ x \ j = 1,2, …, p. (8,27) Напомним, что соотношение (8.27) можно считать координатой Естественный способ определения линейных операторов. Кроме того, матрица (aj) Коэффициент а \ называется матрицей линейных операторов.
- Коэффициенты этой матрицы при переходе на новую матрицу Основы координат преобразуются в соответствии с законом (8.19), преобразование координат Представляет тензор типа A, 1) и, следовательно, тензор типа A, 1). Рассмотрим любую базу e ^, b2 ‘, …, en /.
Напиши это Форма линейного оператора L (8.27) / = 4 ^ i f = 1 ‘> 2’, …, n ‘. (8,28) Перешли от базы ei, B2, …, en к базе e ^, B2 ‘, …, en /. С указанием матрицы перехода (b \,) (или того же {b3-,)), 5) (См. Пункт 3 § 1 этой главы) x-ovx, ^ / -OK, у. Замените эти выражения на x1 и y3 в (8.27). Получите следующее Ratio: yk’b {, = 4H ‘^, 3 = 1,2, …, p. (8,29) (8.29)
Мне нужно получить выражение для y3. Людмила Фирмаль
Для этого Умножим обе части (8.29) на b3- и добавим j от 1 до p. Получите yk 83k, = (b1, w1, a1) xr, предполагая, что b3k, b3 = 83k. Пожалуйста, обратите внимание yk S3k, = y3. Следовательно, y3 = (b1, b3-a1) xr. Сравните это выражение Для y3 с выражением y3 согласно уравнению (8.28):
Произвольный вектор x (тождество действительно для произвольных координат nat x1): pz ‘g _ (ch h3’ p3} ^ ‘ ai> x- \ ° i ‘° j ai) x • Отсюда и значение χ, коэффициент а Матрица линейных операторов преобразуется по закону a \, — {b \, b3-a ). Следовательно, коэффициент а \ преобразуется по закону (8.19) Тензорные координаты типа А, 1) и, следовательно, Тензор.
Смотрите также:
| Преобразования базиса и координат | Основные операции над тензорами |
| Понятие тензора | Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве |
