Метод Якоби

Метод Якоби

• Метод Якоби. С некоторыми дополнительными предположениями, Явная вторичная форма A (x, x) может показывать явные выражения Переход от заданного базиса e = (ei, B2, …, en) к стандартному sis / = (fi, f2, …, fn) и формула канонического коэффициента Товарищ Си.

• Во-первых, введите понятие преобразования треугольника Базисный вектор. Преобразование базисных векторов ei, b2, …, en Для угля в следующих формах: фи = е f2 = a2ie1 + e2 f3 = a3iei + a32e2 + e3, G.19) фн = Замечания. Определитель матрицы треугольного преобразования G.19) ненулевой (равен 1) и вектор f \, f2, …, fn Формирование фундамента.

Введите малый угол матрицы A (e) = (a ^) Указывает коэффициенты вида e (x, x) базиса e, их символы ми L2, …, Ap_y = ai, A2 = ах up_ i5i … up_ , G.20) Людмила Фирмаль

Следующее предложение верно. Теорема 7.4. Несовершеннолетние матрицы Ai, A2, …, An (a ^) Квадратичная форма A (x, x) отлична от нуля. Тогда необходимо Существует единственное треугольное преобразование основания торы еи, b2, …, en, поэтому форма A (x, x) Это приводит к нормальной форме.

Доказательство. Коэффициент есть Мы A (x, x) базисов f \, f2, …, fn вычисляются по формуле = А (б,%). Если форма A (x, x) базиса f \, f2, …, fn является канонической, Далее bij = 0 для iΦj. Так что достаточно доказать теорему Тем не менее, построить с использованием треугольного преобразования G.19) База fi, f2, …, fn, где отношение A (f ^, fj) = 0 iΦj или то же самое, r j-l, j = 0. G.24) Определителем этой системы является Aj_i. Ай-я 7 ^ 0-

Поэтому система G.24) имеет свое решение. так Вы можете построить одно преобразование треугольника за раз Вектор, который уменьшает форму A (x, x) до Нормативный разум. Теорема доказана. Дает выражение, которое может вычислять коэффициенты ^ И кано- уравнения для желаемого преобразования треугольника Коэффициент Xj.

• Символ Aj_i5j обозначает младшую матрицу (cb ^ -). Пересечение этой строки матрицы и чисел 1, 2, …, j-1 И столбцы с номерами 1,2, …, r-1, r + 1, …, j. Затем поверните Используя Систему G.24) и формулу Крамера, вы получите: формула переменного тока: G-25) Рассчитаем канонический коэффициент Xj. Xj = bjj = A (fj, fj), поэтому из уравнения G.23) fj и 5)

Легко убедиться, что отношение G.22) следует за отношением G.21). Получите выражение G.22) \ j = A (fj, fj) = A (ajle1 + aj2e2 + … + ajij-1ej-1 + e ,, fj) = az ^ 2 + … + ajij-1ej-1 + e,) = + aj2a2j + … + OLjj-iCLj-ij + CLjj.

Заменить G.25) в выражении с Людмила Фирмаль

Последнее соотношение молекулы элемент строки с номером j определителя Aj Алгебраическое дополнение этих элементов указанного определителя. Так что этот числитель равен Aj. так A, — = — ^ -, j = 2,3, …, p. G.26) A1 = A (fi, fi) = A (ei, ei) = ac = Ai, поэтому отсюда G.26) Получите следующую формулу для канонического коэффициента: Ai = Ai, A2 = ^, …, An = — ^ -. G.27)

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Квадратичные формы	Закон инерции квадратичных форм
Метод Лагранжа	Классификация квадратичных форм