Оглавление:
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
- Билинейное матричное преобразование Переехать на новый фундамент. Билинейный ранг. рассматривать Линейное пространство L имеет два основания: e = (ei, e2, …, en) и / = = (Fb f2, …, fn). A (e) = (aij) и 4 (/) = (hj) в качестве матрицы Билинейная форма с указанным основанием.
- Выясните проблему взаимосвязи между этими матрицами. Другими словами, найдите следующую проблему: Формирование билинейной формы матрицы aij при переходе от базы e Для нового фонда. Следующее предложение верно. Теорема 7.2. Матрицы A (e) и A (f) в билинейной форме A (x, y) В базисе e = (ei, e2, …, en) и / = (fi, f2, …, fn) связаны по A (f) = C’A (e) C, G.7)
Где C = (cpq) — матрица перехода от базы e к базе /, а C — Транспонировать матрицу C Доказательство. Людмила Фирмаль
Новая база / элемент fq Вырежьте элемент ep старой базы e, используя матрицу C = (cpq) официальный р = 1 bik = -4 (f /, ffc), поэтому согласно G.8) к. G.9) Напомним, что элемент c и транспонированная матрица C связаны Используйте отношение cc = c ‘^ для элемента cc матрицы. Подставляя эти соотношения в правую часть G.9), получаем бик.
Следующая формула: Итого ^^ iCtijCjk (как определено матричным произведением) предварительно Построить элементы матрицы A (e) C. G.10 справа) является элементом матрицы C1 A (e) C В левой части G.10 находится элемент (f) матрицы A. Следовательно, A (/) = = C A (e) C. Теорема доказана.
- Ранг матрицы результатов A (/) совпадает с рангом матрицы A (e). Это немедленно следует из соотношения G.7) и матрицы C Следовательно, матрица C невырождена и из теоремы Ранг матрицы не меняется, даже если она умножается нелинейно Ожидаемая матрица. Этот результат вводит следующие важные числовые инварианты: Нейронная форма — ранг так называемой билинейной формы. Определение 1.
Конечно заданный ранг билинейной формы Линейное линейное пространство L называется рангом этой матрицы Образуется на любой базе в пространстве L Определение 2. Линейное линейное пространство L называется невырожденным {вырожденным Ожидаемый ранг равен (меньше) размерности пространства L
Конечно определенная билинейная форма A (x, y) Людмила Фирмаль
Смотрите также:
| Понятие билинейной формы | Квадратичные формы |
| Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве | Метод Лагранжа |
