Оглавление:
Метод простой итерации (метод Якоби)
- Простой итерационный метод (метод Якоби). Рассмотрим квад Система линейных уравнений с действительными коэффициентами т. С.10) (см. Раздел 1, раздел 2 главы 3), описанный в матричной форме AX = F, Понимание основной матрицы системы с A A = <222 … CL2n CLn2 «» «& PP Под X и F вектор-столбец вида X = Второй из них будет решен. (Я ел) Е.
- 2) запад X2 Xp , F = L час сноска В первом Нет проблем с собственным значением. Обеспечивая уникальную разрешимость системы F.1), мы заменим Уравнение F.1) Эквивалентное матричное уравнение X = X-mAX + tF, где m представляет собой действительное число Числовое значение обычно называют стационарным параметром. Используйте это последнее уравнение для создания итерации.
Определить последовательность векторов {X /,} как рекурсивную. Людмила Фирмаль
Износ Xk + 1 = Xk-tAXk + tF (k = 0, 1, …) F.3) Для любого выбора «нулевого» приближения Xq. Простой итерационный метод — заменить точное решение X Система F.1) По достаточно большому числу k x ^ k-й итерации. Оценим погрешность Z ^ -X ^ -X метода простой итерации. Соотношения F.3) и F.1) сразу означают следующую матрицу Уравнение ошибки Z ^ \ Zk + 1 = (E-rA) Zk, F.4) Где? Единичная матрица порядка р.
Ввести векторную норму в пространство En и оператор Является ли норма квадратной матрицы порядка n. Как обычно, Норма вектора X, число, равное квадратному корню из суммы || X || Квадрат координат этого вектора. Норма оператора звонка Число Щ || любой матрицы А равно одной из точных верхних оценок.
Отношение || AH «|| / || X || с множеством всех ненулевых векторов X, или (Одинаковый) точный верхний предел нормы || AH «|| Вектор X с нормой, равной единице. Так по определению !!? * !! F.5) 3) Оператор для любой симметричной матрицы A Норма этой матрицы равна наибольшему собственному модулю Значение этой матрицы (см. Подраздел 4 из 5 в главе 5), т.е. =
Максимум | AS |. F.6) F.5) означает следующее неравенство: Матрица A и произвольный вектор X: \\ AH \\ <: \\ A \\\\ X \\. Е.7) 3) Когда A = A ‘, матрица A называется симметричной. Из уравнения матрицы ошибок F.4) и неравенства F.7) Получить его в любом количестве к Здесь мы докажем следующую простую, но важную теорему. Теорема 6.1.
- Перейти к повторной последовательности F.3) Любой выбор приближения нулевого порядка Xq и Значение параметра r сходится к точному решению X системы Мы F.1), это достаточно условие p = \\ E-tA \\ <1. F.9) Последовательность F.3) сходится со скоростью Прогрессия Рической с знаменателем р Если матрица A симметрична, условие Это также необходимое условие сходимости итерационной последовательности F.3)
Любой выбор приближения нулевого порядка. Доказательство. Установить достаточность Обратите внимание, что согласно F.9) неравенство F.8) означает: Отношение: \\ Zk \\ <: \\ E-TA \\ k \\ Z0 \\. F.10) Из F.10) ясно, что условие F.9) сходится. Последовательность ошибок Z ^ Небесная прогрессия со знаменателем р.
Если матрица А симметрична, то есть симметрия. Людмила Фирмаль
Благодаря матрице и E-тА, следовательно, F.6), условие F.9) Переписать в эквивалентном формате p = max | 1-tXs \ <1 F.11) S (Где {Xs} — собственное значение матрицы A). Подтвердите, что условие F.11) является требованием Сходимость последовательности {Z ^} к нулю для любого выбора Аппроксимация нулевого порядка Xq.
Предположим, что условие F.11) не Полный. Далее, существует собственное значение Xs, которое удовлетворяет Неравенство | 1-rXs \ ^ 1. Представлено X Собственные значения и выбор собственных векторов матрицы A Аппроксимация нулевого порядка Xq такая, что Zq соответствует X ^ s \ Запишите соотношение F.4) чисел 1, 2, …, k ясно, Zk = A-rXs) kZo.
Из последних отношений, Неравенство | 1-rXs \ ^ 1 означает, что \\ Zk \\ не будет равно нулю как к-> оо. Теорема 6.1 доказана. Обратите внимание, что для практических целей сразу не достаточно Только факт сходимости итерационной последовательности. цена Основными задачами численного метода являются Прибудет.
Знание лучшего метода управления очень важно Постоянный параметр м, чтобы получить наиболее Сходимость потока. Давайте внимательнее посмотрим на эту проблему. Мне нужно получить точное значение ^ -точность дана Система F.1) решение. Чтобы найти Xx повторений ром II 7 «II г ‘<= ¦ II 7 II ((КЛО \ Начиная с F.9) и F.10) он становится \ Zk \ ^ pk \ Zo \, поэтому F.12) Это верно, если pk> e, то есть k> In (l / e) / \ n (l / p).
Это указывает на то, что этого достаточно, чтобы уменьшить количество итераций. Для достижения требуемой точности необходимо выбрать параметр m Таким образом, чтобы получить минимальное значение функции p = p (m) = \ E-mA \. Предполагая, что матрица A является симметричной и положительно определенной.
Перейти к следующей задаче оптимизации: найти минимум функция min p (m) = min \ E-tA \ = min {max | 1-rAs |}. Т Т Т С Предлагается решение этой и некоторых более общих проблем. А.А. Самара указана в следующем абзаце. Есть доказательства Однако указанное минимальное значение функции p = p (r) равно m = 2 / G1 + 72M (7i и 72 ~~ самые маленькие, Максимальное собственное значение и минимум матрицы A Значение функции p (r) равно 72_ _ 72-7i 1 + 21 72 + 7i
Смотрите также:
| Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Общие замечания | Общий неявный метод простой итерации |
| Ортогональные операторы | Модифицированный метод простой итерации |
