Оглавление:
Унитарные и нормальные операторы
- Одиночные и обычные операторы В этом разделе описываются важные свойства операций класса. Радиатор V действует в евклидовом пространстве. Определение 1. Линейный оператор U (V, V) из L называется Соответствующий элементам x и y из V Износ (Ux, Uy) = (x, y). E.88) В дальнейшем отношение E.88) называется условием Тара оператора.
- Замечания 1. Из условия E.88 согласованность операторов следующая. Для em, унитарный оператор U, равенство Обратите внимание на следующее утверждение: Если A является собственным значением унитарного оператора U, A | = 1. На самом деле, если Λ является собственным значением U, Какой элемент e, его || e || = 1 и Ue = Le.
Отсюда и из замечания 1 Отношение | A | = || Ae || = || Ue || = || e || Проверенная. Людмила Фирмаль
Докажем следующую теорему. Теорема 5.29. Для линейного оператора U, Необходимо, потому что оно единично в евклидовом пространстве V Достаточно для отношений U * = и. E.89) Доказательство. 1) Нужно. Оператор U Холост, то есть условие E.88 выполнено). Посмотрите на определение Для присоединенного оператора U * это условие можно переписать как Общая форма 20):
(U * Ux, y) = (x, y), E.90) Или же х и у равны ((U * U-1) x, y) = 0. Измените элементы x с помощью этого уравнения и предположите, что y произвольно Получите, что линейный оператор U * U-I работает по правилам (U * U-1) х = 0. Следовательно, U * U = I. Вы можете убедить их точно так же. UU * = I. Следовательно, U и U * являются взаимно противоположными операторами.
Это значит Носить E.89). Необходимость условий теоремы доказана. 20) Напомним, что оператор U * называется сопутствующим оператором U в следующих случаях: Для любых z и y выполняется соотношение (z, Uy) = (U * z, y). Установка z = Ux, Получите E.90). 2) Достаточно. Убедитесь, что условие E.89) выполнено. Тогда, Вы можете видеть, что UU * = U * U = I.
Посмотрите на определение сопряженного Используйте оператор и только что написанные отношения, чтобы получить Любые уравнения х и у (Ux, Uy) = (x, U * Uy) = (x, 1y) = (x, y). Следовательно, условие E.88) для однородности оператора выполнено. Следовательно, оператор U унитарный. Теорема доказана. Замечание 2. Теорема была установлена в процессе доказательства теоремы.
Оператор U и условие равномерности условия E.88) U * U = UU * = I E.91) Это эквивалентно. Следовательно, основа для определения унитарных операндов Состояние радиатора E.91 можно установить. Это условие также называют объединением оперы. Торус У. Вводит понятие нормальных операторов. Определение 2.
- Линейный оператор A обычно называется Если отношения верны A * A = AA *. E.92) Условие унитарности оператора E.91) E.92) показывает, что все унитарные операторы являются стандартными Низкий оператор. Требуется следующее вспомогательное утверждение: Лемма. Пусть A нормальный оператор.
Далее с оператором А и Оператор A * имеет общий соответствующий элемент e: \ e \ = 1 и отношения Ae = Ae и A * e = Ae действительны. Доказательство. Пусть A — собственное значение оператора A, И R \ = кер (A-AI). То есть R \ — это множество всех элементов. Полицейский х, как топор-топор = 0. Если x принадлежит R \, давайте удостоверимся, что A * x принадлежит Р \ жив.
На самом деле, если Ax = Ax (т.е. x∈R1) А нормальный оператор. Людмила Фирмаль
A (A * x) = A * (Ax) = A * (Ax) = A (A * x). То есть вектор A * x является следующим собственным вектором. Соответствует собственному значению А радиатора А. Это принадлежит R . Далее рассмотрим оператор A * как оператор, действующий из R \ В R \, используя заключение теоремы 5.8, Каждый линейный оператор имеет собственное значение и может быть утвержден.
Дождитесь элемента e элемента R \, для которого || e || = 1 и Соотношение A * e = fie и Ae = Ae. Используя эти отношения и условия || e || = 1, (Ae, e) = = (Ae, e) = A || e || 2 = A, (e, A * e) = (e, Me) = D || e || 2 = D (Ae, e) = (e, A * e), поэтому ясно, что A = D. Лемма доказана. Докажите следующую теорему. Теорема 5.30. Пусть A нормальный оператор. Тогда необходимо Существует основа православного мира правильных вещей {е ^} Элементы операторов A и A *.
Доказательство. Согласно доказанной лемме оператор Торы А и А * имеют общий собственный элемент, принадлежащий V, Также || ei || = 1. Собственные значения операторов A и A *, Соответствующий ei равен Ai и Ai соответственно. Пусть Vi — ортогональное дополнение элемента ei относительно пространства V. Другими словами, V \ Условие (x, er) = 0.
Если x принадлежит Vi, докажем, что Ax и A * x принадлежат Урожай V . На самом деле, если (х, е1) = 0, (Ax, ex) = (x, A * ex) = (x, Aiei) = Ai (x, ex) = 0, То есть Ax∈V . Аналогично, если (x, e ±) = 0, (A * x, ex) = (x, Aex) = (x, A ^ i) = Ai (x, ex) = 0, То есть A * x e Vi. Следовательно, Vi является инвариантным подпространством оператора A. И А *. Поэтому как раз перед.
Подпространство Ви Лемма Существует общая собственная функция e2 для операторов A и A *, Его Ae2 = A2e2, A * e2 = A2e2. Кроме того, ортогональное дополнение элемента обозначено V2. Та е2 до Vi. Выводя, как и выше, V2 e | операторы A и A * общий элемент = e || = 1. Продолжая подобные рассуждения и четко строя В пространстве V он состоит из ортонормированного базиса {e ^}.
Натуральные элементы операторов A и A *. Теорема доказана. Результат 1. Пусть A — обычный оператор. Есть ба- zis {e /,}, A имеет диагональную матрицу. Конечно, теорема только что доказала, Sis {e &} из собственных векторов A. Согласно теореме 5.9 Исходя из этого, матрица оператора A является диагональной. Результат 2. Унитарный оператор полностью ортонормирован Система ванной Eigenvector.
Следующая теорема является обратной теореме 5.30. Теорема 5.31. При работе с n-мерным евклидовым Оператор Пространство V имеет n попарно ортогональных свойств. Для натуральных элементов ei, b2, …, en оператор A нормален. Доказательство. {ek} попарно ортогональн Вещественный вектор оператора А.
Тогда согласно Aek = A ^ e / и E.69 Справедливо следующее выражение 21) оператора A. Ах = Докажем, что присоединенный оператор A * работает по правилам N A * y = Y / \ k (y, ek) ек. E.93) Для операторов А и А * Соотношение E.69) и E.93), равенство (X, A * y) = (Ax, y). E.94) Подставим выражение A * y в форму Мул E.93), полученный после простого преобразования (X, A * y) = 2 ^ (x> L / e (y’e ^) e * 0 = 2 ^ Xk (y, el) (x, ek) = k = 1 k = 1 N ) K, y) = (Ax, y).
Таким образом, уравнение E.94) доказано, и, таким образом, оператор A *, Работает в соответствии с правилом E.93), сопряжено с оператором RU A. Чтобы завершить доказательство теоремы, необходимо проверить Равенство E.92): A * A = AA *. 21) Выражение E.69) Попарно ортогональный собственный вектор. Согласно E.93) 22) N AA * x = 22 ^ & (x> ek) Aek = к = 1 , Ek) EK = A * Ax. Следовательно, для операторов A и A * выполняется уравнение E.92), поэтому Ну, оператор А нормальный. Теорема доказана.
Смотрите также:
