Оглавление:
Положительные операторы. Корни m-й степени из оператора
- Позитивный оператор. N-й корень из оп Радиатор. Самосопряженный оператор A называется положительным, Для х из V отношения (Ax, x) ^ 0. E.77) Если оператор A положительный и условие (Ax, x) = 0, Если x = 0, A называется положительно определенным оператором Радиатор.
- Положительные и положительно определенные операторы соответственно Обозначается символами A ^ 0 и A> 0. Обратите внимание на следующее простое утверждение: Каждое собственное значение положительно (положительно (Специальный) оператор не является отрицательным (положительным). Это утверждение основано на простых рассуждениях.
Пусть A будет собственным значением A. Людмила Фирмаль
Тогда согласно лемме В пункте 4 этого раздела вы можете указать такой элемент x, || x ||. = 1 A = (Ax, x). Отсюда и из соотношения E.77) получаем A> 0. A> 0 для операторных операторов и положительно определенных операторов Птицы. Предложение доказано. Представляем понятие корня степени m (m — натуральное число) Оператор.
Маршрут степени m из определения оператора A называется Оператор B как W = A Корень n-го порядка от оператора A обозначается через A1 // m. Естественно выбрать класс операторов Операция поиска n-го корня имеет смысл. предопределенный Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 5.24. Пусть A — положительный самоассоциатор Оператор, А ^ 0.
- Тогда будет любое положительное целое число м ложный самосопряженный оператор A1 // m, A1 // m ^ 0 Доказательство. Обозначается А и собственным значением Операторы A и {e &} являются подходящими ортонормированными базисами Вектор. Далее указывается P /. Одномерный суб-проектор Пространство, созданное вектором е ^.
Согласно предыдущему параграфу, выполняется спектральное разложение E.74) самосопряженного оператора A. A = E.74) к = А или позже. ^ 0 (см. Проверенное утверждение), затем Вводит следующий оператор самостоятельного соединения B: B = E.78) Согласно E.70) (Pfcx, x);> 0, Это означает, что оператор P & положительный положительный Оператор B (см. E.78).
Свойства P проектора 1 °) и 2 °) (см. Раздел 5 данного раздела). Людмила Фирмаль
Так что это уравнение для W = Y ^ k = i A / .Pk- и W В случае уравнения E.74) A получается W = A. Выше было установлено Оператор Б положительный. Теорема доказана. Замечания 1. Нет доказательств, единый Положительный оператор A1 // t. Примечание 2: Соответствующая ортонормированная основа {e ^} Вектор оператора A и матрица оператора A1’m имеют вид: \ \ / т О \ 0 \ / т 0 \
Смотрите также:
