Оглавление:
Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Специальное представление таких форм
- Один полулинейный в евклидовом пространстве. Специальная презентация такой формы. Представляем концепцию цикады Форма Тралина в линейном пространстве. Числовая функция B (x, y) с определенными аргументами Векторы x и y всех видов линейных пространств L.
- Для любого вектора x, y это называется сесквилинейной формой. Z из L и любое комплексное число A, отношение B (x + y, z) = B (x, z) + B (y, z), B (x, y + z) = B (x, y) + B (x, z), B (Ax, y) = AB (x, y), B (x, Au) = AB (x, y). Другими словами, сесквилинная форма B (x, y) Числовая функция двух векторных аргументов x и y. Для всех возможных векторов x и y в линейном пространстве L.
Линейный к первому аргументу x, антилинейный ко второму аргументу сотрудники полиции. Людмила Фирмаль
Замечания 1. Когда линейное пространство L реально Если это правда, сесквилинейная форма является так называемой Билинейная форма, то есть форма линейная с каждым аргументом (4-е место Е.43) характерно для реальности А Линеаризовать со вторым аргументом). Билинейный формат Исследовано гл. 7. Возврат к сесквилинейной форме, указанной в Евклиде Пространство V.
Специальная следующая теорема Настройте эту форму. Теорема 5.11. Пусть B (x, y) — сесквилинейная форма V пространство: существует уникальное выравнивание Оператор А из L (V, V) B (x, y) = (x, Au). E.44) Доказательство. Пусть у фиксированный элемент Для пространства U B (x, y) находится в линейной форме Аргумент х.
Поэтому, согласно лемме в предыдущем абзаце, Уникальный элемент h пространства Y выглядит следующим образом B (x, y) = (x, h). E.45) Следовательно, согласно правилу E.45) каждому y из Y назначается Единственный элемент h из Y. Следовательно, оператор А Такой ч = Ай. Линейность этого оператора следует основам Из свойств E.43), из свойств сесквилинейного формата и скалярного Он работает.
Докажем единственность оператора А. Пусть Ai и A2 — два оператора, с помощью этих операторов Тип канавки B (x, y) можно представить как E.44). по-видимому Для любых x и y выполняется соотношение (x, Aiy) = (x, A2y). Это означает, что уравнение (x, A2y-Aiy) = 0. Поверь в это Используя x = A2y-aiy и определение нормы элемента, || A2u-Aiy || = 0. Таким образом, для любого y из Y уравнение A2y = = Aiy, то есть A2 = Ai. Теорема доказана.
- Результат B (x, y) находится в евклидовой сесквилинной форме Space U. Тогда будет уникальный расклад Оператор A из L (Y, Y) B (x, y) = (Ax, y). E.46) Естественные результаты могут быть получены по следующим причинам: Во-первых, форма B \ (x, y) = B (x, y) является 1,5 линейной (Здесь B (x, y) находится в сесквилинейной форме, Это форма определения). Кроме того, согласно теореме 5.11 Выражение в формате i (x, y) Bx (y, x) = (y, Ax). E.47)
Поскольку сопряженное значение B \ (x, y) равно B \ (x, y) Равно сопряженному значению левой и правой части E.47) Свойство B \ (x, y) = B (x, y), B (x, y) = (y, Ax). E.48) Где (y, Ax) = (Ax, y) (см. Главу 4, § 3, пункт 1). Следовательно, из E.48) Равенство E.46). Результат доказан. Замечание 2. Теорема 5.11 и следствия этой теоремы верны.
Это также эффективно для реального евклидова пространства. здесь. Людмила Фирмаль
В описании теоремы и следствия используется термин « 1,5 строки Ная формат должен быть заменен термином «билинейный формат». Смотрите также Замечание 1 Это поле вводит понятие сесквилинейных линейных матриц. zis {ek}. x и y принадлежат V, x = Ylk = ixj ^ j, y = Ylk = iyk ^ k- X и y разложения на основе {e ^}. Из определения сесквилине.
Форма следует за отношениями ( y * B (e, -, e *). E.49) ) J = lk = l предположение bjk = B (e ,, ek), E.50) Запишите E.49) для B (x, y) в следующем формате: N B (x, y) = Матрица B = (bjk) называется сесквилинейной матрицей Форма B (x, y) базы {ek}. Следующее предложение верно. Предположим, что сесквилинная форма B (x, y) представлена в следующем виде де E.46) B (x, y) = (Ax, y). E.46)
Кроме того, элементы матрицы A данного ортонормированного оператора A Основа равна в соотв. Тогда на основании этого bjk = ak. к Среди показателей коэффициент бжк по формуле Е.50) 1,5 линии формы. E.50) конвертировать правую сторону E.46). Согласно E.13) q = l Базис {e ^} ортонормирован, поэтому если qΦk (u, e ^) = 0 И (е ^, эк) = 1.
Таким образом, из всех терминов в последней сумме, Вы можете получить только с нуля, если q = k. Таким образом, bjk = a, j. Предложение доказано. Замечание 3. Когда в форме отображается сесквилинейный формат de B (x, y) = (x, Au) и элементы матрицы A оператора A в нем Если ортонормированный базис равен ak, то для этого базиса bjk = Щ.
Смотрите также:
