Оглавление:
Свойства множества L(V, V) линейных операторов
- Свойства линейного операторного множества L (V, V). IS- Линейный оператор, действующий от V до V, то есть Изучите множество L (V, Y) более подробно. Тождественный (или единичный) оператор называется линейным Правило 1x = x (где x любой U). Вводит понятие произведения линейных операторов из множества ва L (Y, Y).
- Произведение операторов A и B из L (Y, Y) является оператором Торус А.Б. (AB) x = A (Bx). Д.3) Обратите внимание, что это, как правило, AB f VA. Допустимы следующие свойства линейного оператора: L (V, V): 1 °) A (AB) = (AA) B; 2 °) (A + B) C = AC + BC; 3 °) A (B + C) = AB + AC; 4 °) (AB) C = A (BC). Первая характеристика 1 °) -4 °) следовать определению продукта
Определите скалярные линейные операторы (см. E.2) и продукты Оператор (см. E.3)). Людмила Фирмаль
Перейдите к обоснованию имущества 2 °). Согласно E.1), E.2) И е.3), ((A + B) C) x = (A + B) (Cx) = A (Cx) + B (Cx) = = (AC) x + (BC) x = (AC + BC) x. Д.4) Сравнивая левый и правый из последних отношений, Получено уравнение (A + B) C = AC + BC. Свойство 2 °) установлено. Свойство 3 °) доказывается точно так же. Свойство 4 °) по определению (см. E.3)), произведение линейных операторов находится в таком порядке.
Действие, поэтому линейные операторы (AB) C и A (BC) Совпадает и поэтому идентично. Замечание 1. Используйте свойство 4 °), чтобы определить продукт. AB … L (Y, Y) из любого конечного числа операторов, особенно st, оператор A, использующий выражение в n-й степени An = AA … A. п фактор Очевидно, что соотношение An + m = AnAm верно.
Требуется концепция обратного оператора для данного оператора Радиатор A (Y, Y) от L. Определение 1. Линейный оператор B из L (Y, Y) называется Обратный оператор A от L (Y, Y), соотношение AB = VA = I Обратный оператор оператора А обычно Лом А ~ 1. Из определения обратных операторов A к x, x∈Y, отношение A Ax = x верно. Так что если A ~ 1 Ax = 0, x = 0, то есть оператор A В противном случае условие Ax = от 0 до x = 0.
Скажем, линейный оператор А взаимодействует Для двух разных элементов xi и X2, однозначно от Y до Y Различные элементы yi = Axi и y2 = Ax2 соответствуют. Когда оператор А действует один на один от Y до Y, Формула A: V — y V — это отображение V на V. Каждый элемент y∈Y является образом некоторого элемента x∈V. Y = Ох Очевидно, чтобы доказать это, достаточно доказать это.
Линейные независимые элементы xi, X2, …, xn в пространстве V n Представлено линейно независимым оператором A Axi, Ax2, …, Axn элементов в одном пространстве. Поэтому пусть xi, X2, …, xn — линейно независимые элементы V. ЕС Линейная комбинация представляет собой \ Axi + a2Ax2 + … + sipAxn Является нулевым элементом пространства V. aiAxi + «2Ax2 + … + anAxn = 0.
Тогда из определения линейного оператора (см. Подраздел 1 этого раздела) A (aiXi + a2x2 + … + «nxn) = 0. Так как оператор А работает один на один от V до V, Из последних отношений, aiXi + α2X2 + … + otnxn = = 0 Однако элементы xi, X2, …, xn линейно независимы.
Следовательно, ± = = «2 = … = Oin-0-So элементы Axi, Ax2, …, Axn Он также линейно независим. Обратите внимание на следующее утверждение: L (V, V) линейный оператор A обратный Необходимо и достаточно для этого оператора действовать 1 к 1 от V до V Убедитесь, что сформулированные условия являются обязательными. Дай мне знать А имеет противоположность, но не работает один на один с V.
Он имеет несколько различных элементов XI и X2, X2- XiΦ0 из -V соответствует тому же элементу y = Ax1 = Ax2. но Затем xi-X2 = 0, потому что A (x2-xi) = 0, а A противоположна. Однако обратите внимание, что в приведенном выше это Xi-X2Φ0. Полученное противоречие Докажите необходимость условий утверждения. Давайте докажем адекватность этого условия.
Предположим, что оператор A работает один в один из Y в Y. Тогда каждому элементу y G V соответствует элемент x x V. у = ах Так что есть оператор A ~ 1 со свойствами Это A-1y = A (Ax) = x. Оператору А легко подтвердить, что По определению, A ~ r обратные операторы A. Достаточность условий утверждения также была доказана. Вводит понятие ядра и образ линейных операторов.
Определение 2. Ядро линейного оператора A называется множеством Множество всех элементов x пространства Y с Ax = 0 Ядро линейного оператора A обозначается через ker A. Когда ker A = 0, оператор A работает с 1 по 1 из V Фактически, в этом случае условие Ax = 0 означает x = 0. Это означает, что разные xi и X2 соответствуют разным yi = Axi y2 = Ax2 (если y1 = Y2, A (x2-xi) = 0, то есть xi = X2 и Элементы xi и x2 одинаковы Us).
Следовательно, согласно утверждению, доказанному выше, условие ker A = 0 необходимо и достаточно Оператор А был наоборот. Определение 3. Образ линейного оператора A есть Набор всех элементов пространства V, которые могут быть представлены де у = ах. Образ линейного оператора А имеет вид IMA! ). Замечание 2. Когда ker A = 0, imA = Y, Обратное.
- Таким образом, вместе с приведенными выше условиями, ker A = О. Условие imA = V такси необходимо и достаточно Следовательно, оператор A обратный. Замечание 3. Очевидно, ядро ker A и изображение imA являются линейными. V подпространство. Таким образом, Размеры dim (ker A) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Размерность dim V of V равна n, И пусть A — линейный оператор из L (V, V). тогда dim (imA) + dim (ker A) = n. Доказательство. кер А является суб У может показать такое подпространство V \ V2) где V — прямая сумма V \ и кер А. Согласно теореме 2.10 dim V \ + dim (ker A) = n.
Поэтому докажи Для доказательства теоремы достаточно проверить, что dim Vi = dim (imA). Людмила Фирмаль
dimVi = p, dim (imA) = g, yi, y2, …, yn — основания imA. Линейный оператор A является V \ В im A 3) каждый элемент y из imA имеет вид Это единственный элемент x∈V \ с Ax = y. так *) Символ Im следует отличать от символа im, используемого для обозначения Мнимая часть комплексного числа. 2) Чтобы убедиться в этом, такой базис ei, e1, …, в V.
Если векторы ei, e1, …, e1 образуют базис ker A, линейный промежуток Векторы er + i, …, en представляют V \ (подробности см. В Главе 4). 3) Аналогия с линейными операторами, которые работают один в один От Y до Y мы можем ввести понятие взаимодействующего линейного оператора A.
Однозначно из линейного пространства V в линейное пространство W Радиатор имеет разные элементы XI и X2 в пространстве V Элементы xi, x2, …, xd определены в V \, Ax & = y / ,, k = = 1, 2, …, q. Элементы xi, X2, …, xd линейно независимы. «IXi +» 2X2 +. , , + Olq-Xq = 0, THEN A («iXi +» 2X2 + .. + «GXg) = OLiYi + + «2Y2 + … + agyg = 0, а элементы yy y2, …, yq линейны Если независимые, ai = a2 = … = aq = 0, то есть xi, x2, …, xg линейны Но это не зависит.
Следовательно, V \ q линейно независима Элемент. В результате p> q (помните p = dimVi). Предположим, что p> q. Добавить линейно независимый xi, x2, …, xd элемент xg + i, xg + 2, …, xp xi, x2, …, xp составляют основу V . Поскольку p> q и g = dim (im A), оно становится Элементы Axi, Ax2, …, Axr, принадлежащие im A, являются линейно зависимыми.
Поэтому мы не все нулевые числа Ai, A2, …, XP существуют AiAxi + A2Ax2 + … + ApAxp = 0 A (AiXi + A2x2 + … + ApXp) = 0. А это В \ Поскольку imA равен 1: 1, из последнего равенства Aixi + A2x2 + … + ApXr = 0 Но xi, x2, …, xp являются основой V . Следовательно, Ai = A2 = … = Xp = 0. Выше показано, что не все Ai, A2, …, XP равны нулю. бар Thread На самом деле предположение p> q приводит к несоответствиям. Вот так р = q. Теорема доказана.
Следующая теорема также справедлива в некоторой точке Это противоположно теореме 5.1. Теорема 5.2. Пусть V1 и V2 два таких подпространства dim V \ — \ dim n-мерное пространство V, где D2 = dimV. тогда Существует линейный оператор A из L (Y, Y) такой, что V \ = im A, Y2 = кег. Доказательство. Пусть dimVi = p, dimV ^ = q. Vybe- Такие элементы, как база ei, e2, …, en в пространстве V Ep _ | _ 1, Ep _ | _ 2, •••, ep принадлежал U2.
Затем выберите с пробелом V \ Мы напоминаем вам о некоторых основных gi, g2, …, gp. Здесь определяется значение линейного оператора А. Соответствует различным элементам пространства W, yi = Axi и y2 = Ax2. Таким образом, Свойства учитываются оператором А, действующим из космоса Поместите V \ в пространство imA.
Фактически, если xi∈Vi, X2∈Vi и X2-xiΦ0, то X2-xi∈Y1- » Ax2 Ax Axi (Axi E rA, Ax2 E imA. Если Ax2 = Axi, A (x2-xi) = = 0, то есть несовместимо с членством в X2-xi GkerA, X2-xi∈Y \ И условие X2-xiΦ0 (поскольку Vi и kerA являются прямыми суммами, Только нулевые элементы являются общими).
Следующее пространство V вектор ei, b2, …, en: Aei = gb Ae2 = g2, …, Aer = gp, = 0, Ap + 2 = 0, …, Ap = 0. бодрость духа Кроме того, x = x ± ei + x2e2 + … + xpre + xp + iep + i + … + xpep Axe = xigi + x2g2 + … + Xpgp. Очевидно, оператор A линейный Есть обязательные свойства. Теорема доказана. Вводит понятие ранга линейного оператора А. Ранг линейного оператора A называется числом, обозначенным символом Ранг A, который равен A = dim (im A).
Теорема 5.1 и от Тэг 2 в этом абзаце. Результат теоремы 5.1. От оператора А L (V, V) имел обратный А. позвонил A = дим V = N. Пусть A и B линейные операторы из L (V, V). последующее Следующая теорема. Теорема 5.3. Следующие отношения имеют место: Звон AB AB Звон A, Звон AB ^ Звон B. Доказательство. Сначала докажите свое первое замечание. Соотношение.
Очевидно, я ABCim A 4). так тусклый (imAB) ^ тусклый (imA), то есть rangAB ^ rang A. Чтобы доказать второе отношение, используйте 5): Бордюр Cker AB. За этим включением следует dim (curb) ^ dim (kerAB). Следуйте неравенствам по порядку из последнего неравенства дим V-дим (кер AB) ^ дим Y-дим (обуздать), а затем Теорема 5.1 дает dim (imAB) ^ dim (imB), то есть rankABAB ^ rangB.
Теорема доказана. Докажем еще одну теорему о ранге линейных операторов. Теорема 5.4. Пусть A и B L линейных операторов (V, V) n — размерность V. После этого позвонил А.Б., позвонил А +, позвонил Б-н. Доказательство. Согласно теореме 5.1 dim (imAB) + dim (ker AB) = позиция E.5) 4) Следующий символ C обозначает включение, то есть запись AC B.
Указывает, что A является подмножеством B. 5) AB и VA разные, так сказать, операторы я ABCimВ не может быть сделано, поэтому второй Спетый AB 0. E.10) Поскольку ker находится в CkerAB, в подпространстве kegAB Принимает базовые xi, X2, …, xp + q, элемент xp + i, …, xp + q ob- Создайте базу с кером B. Этот выбор позволяет элементы xb x2, …, xp + q Bxi, Bx2, …, Bp линейно независимы (линейная комбинация ?
l = 1A * Bx * = 0, toBELiW = 0, то есть? l = 1A * x * C ker B, Это возможно только для A / путем выбора xi, X2, …, xp. = = 0, k = 1,2, …, p). Таким образом, элементы Bxi, Bx2, …, Bxr принадлежат: Автомобиль Ли A, то есть p ^ dim (автомобиль A). Из этого неравенства и отношений E.9) и E.10) означают требуемое неравенство E.8).
Теорема доказана. Результаты теоремы 5.3 и 5.4. Когда зазвонил A = n, n это размер Ii), то звучит AB = звучит BA = звучит B Этот результат исходит из неравенства rangAB ^ rangB (теорема 5.3), rangAB ^ rangB (теорема 5.4 для ранга A = n). Из этих неравенств получается rangAB = rang B. Соотношение ранга B A = ранга B доказывается аналогично.
Смотрите также:
| Определение линейного оператора | Матрица линейных операторов в заданном базисе линейного пространства V |
| Действия над линейным операторам. Пространство линейных операторов | Понятие матрицы |
