Оглавление:
Свойства совокупности решений однородной системы
- Свойства множества однородных системных решений. Теперь рассмотрим однородную систему m из n линейных уравнений. Неизвестный C.7), как уже упоминалось выше, матрица C.2) Ранг равен r и младший базовый M находится в верхнем левом углу Это матричный уголок.
- На этот раз вместо формулы C.20) все bi равны нулю, Следующая формула получается: M () ‘•• + CnMjidin)} (j = 1, 2, …, D), C.24) Представляют неизвестное значение Xj = Cj (j = 1, 2, …, d) Коэффициент отсечения неизвестного произвольного значения ния сг _ | _ 1, …, сп. По формуле, доказанной в предыдущем абзаце С.24) С.7) включая решения для аналогичных систем. Xr = D1}, .., x! 1}) и X2 = (xf \ .., x! 2)) две производные.
Давайте проверим, что все решение однородно Система C.7) образует линейное пространство. Людмила Фирмаль
Свободное решение однородной системы C.7), и А является вещественным Номер. Однородные системные решения C.7) Является элементом всех упорядоченных линейных пространств Ap набор из n чисел, достаточно доказать каждое из двух оккупационный X1 + X2 = Это также решение для однородной системы C.7). Рассмотрим уравнение системы C.7).
Например, Заявления и подстановка в это уравнение вместо неизвестных элементов Заполнители. Считаем, что X \ и ^ — однородные решения Система у нас есть н н Jb ‘| Jb’ I / (Jb 2 1 Jb A | / UL)% 1 Jb A \ J h 3 = 1 ‘3 = 1 3 = 1 -X> n-rK} -0 / 1J j ‘ От 3 = 1 до ~ 3 = 1 А это значит, что множество X \ + X <± и XX \ является решением Однородная система C.7). Поэтому весь С.7 всех решений однородных систем) Определить линейное пространство, обозначаемое R.
Найти размерность этого пространства R и построить там фундамент. Докажем это в предположении, что ранг матрицы однороден Система C.7) равна r, линейное пространство R всех решений Однородная система C.7) изоморфна линейному пространству Anr Все пронумерованные упорядоченные коллекции (n-d) 14). Каждое решение (CI, …, CG, Cr + i, …, cn) C.7) элементы однородной системы (cr + i, …, cn)
Пространство A ^ n ~ r \ cr + i, …, число cn равно Случайно выбирается, и каждый выбор выбирается с помощью формулы C.24) C.7) для однозначного определения системного решения, затем установите Наше общение один на один. К следующему Элементы (c; ^, …, Cn) и (c ^ 2 ^, …, Cn) Пробелы от An до r соответствуют элементам (c ^, …, Cr, <4 + 1> •••, Cn) И (c1, …, Cr, 4 + 1 ‘•••> c ™) из пространства A, из формулы C.24) Элемент (c; ^ + c ^ 2 ^, …, c ^ 1 + c ^)
Элементы (#> + c ^, …, ^ + ^>, ^ ji + 4% …, ck4 + ), И любой реальный элемент Λ (сc ^^, …, Asp) Элементы (Aq, …, Ac?, Ac ^ 1 ^, …, Xsp). Это Мы установили соответствие того же типа. Следовательно, линейное пространство R всех решений однородно Система C.7) n неизвестных и ранг главной матрицы равны Так как r того же типа, что и пространство An ~ r, размер н-г (N-d) коллекция линейных независимых решений.
Однородная система C.7) (на основании теоремы 2.5) Пространство R всех решений называется основным Решение однородной системы C.7). Чтобы создать базовый набор решений, вы можете: Ответ ~ T. Ответ от любой базы в пространстве: Благодаря базовому набору решений системы C.7) одного типа, Основной, потому что он линейно независим Решение Ноя установлено.
Особое внимание уделяется базовому набору системных решений. нам с.7) соответствует простейший базис ei = A, 0, 0, …, 0), B2 = = @, 1, 0, …, 0), …, en_r = @, 0, 0, …, 1) Пробел An ~ r и Называется обычный базовый набор решений Родная система C.7). В соответствии с вышеуказанными предположениями относительно ранга и местоположения Малый минор, формула С.24), нормальный основной 14)
Космический пепел, Пример 3, Глава 1, Глава 1, 2. Множество решений однородной системы C.7) принимает вид: M ‘•’ • ‘M’ 0’1 ‘—‘ ° J ‘C.25) Ми (Эйн) Мистер (Эйн) ] ^ — ‘*’ * ‘iv ^ -‘ o, o, …, Решение X однородной системы C.7) путем определения базиса Может быть выражено в форме X = CrXr + C2X2 + … + Cn_rXn_r, C.26) Здесь Ci, C2, ••• и Cn-G — некоторые постоянные.
- В форме Если мул С.26) содержит какое-либо решение однородной системы С.7). Эта формула дает общее решение того же вида, который рассматривается Система. Пример. Рассмотрим единую систему уравнений Xl-X2 + X3-J4 = 0, X! + x2 + 2g3 + 3g4 = 0, (v 2xi + 4×2 + 5×3 + 10×4 = 0, [} 2xi-4×2 + xs-6×4 = 0, Совместим с гетерогенной системой C.21), проанализирован в примерах.
В конце предыдущего абзаца. Следовательно, ранг r матрицы Эта система эквивалентна двум, стоя в качестве базового несовершеннолетнего Верхний левый угол указанной матрицы. Повторите вывод в конце предыдущего абзаца, Получите отношения вместо формулы C.22) 3 грамма ci = -c3-c4, c2 = -c3-2c4.
Действительно для произвольно выбранных sz и c ±. Людмила Фирмаль
Используя эти Отношение (при условии, что sz = 1, s ^ = 0, тогда sz = 0, s ^ = = 1) Получить две нормальные базовые комбинации C.27 Системное решение): , 1, o \, X2 = (-1, -2, 0, 1). Общее решение однородной системы C.27) x = Cl («I» i1; °) + ° 2 (~ 1 ‘°’ 1); C-28) Где C1 и C2 — произвольные постоянные.
В конце этого пункта установить связь между решениями Неоднородная линейная система С.1) и соответствующая ей однородная Система C.7) 15). Давайте докажем следующие два утверждения. 1 °) Сумма любого решения гетерогенной системы C.1) Решение соответствующей однородной системы C.7) Система С.1) Решение.
Фактически, если ci, …, cn является решением системы C.1), и di, …, dn — решения соответствующей однородной системы C.7). Затем подставьте уравнение системы C.1) (например, с gth) Неизвестное количество мест c \ + di, …, cn + dn, получим j = l 3 = 1 3 = 1 Если вам нужно доказать.
2 °) Разница между двумя произвольными решениями гетерогенной системы мы в.1) это соответствующее однородное решение Нас с.7). На самом деле, если c [, …, ^ и c ‘/ …, c ^ два произвольных решения, Система C.1), затем присвойте любое (например, dth) выражение Система C.7) Неизвестный c [-c «, … вместо c’n-c ^, цз-ф = 3 = 1 3 = 1 3 = 1 Если вам нужно доказать.
Из проверенного утверждения следует найти одно решение Гетерогенная система С.1) и добавление в каждый раствор Получаем соответствующую однородную систему C.7), все решения Гетерогенная система C.1).
Другими словами, сумма конкретных решений гетерогенной системы мы C.1) и соответствующие общие решения для однородных систем C.7) предоставляет общее решение для гетерогенных систем C.1). 15) Тот же коэффициент для неизвестных. § 2. Найти решение линейной системы 87 В качестве специфического решения для гетерогенных систем C.1), природных.
Примите его решение16) fM ^ bj) Mg (b) A Xo = —L— ‘•••> -7T ~’ 0, 0, …, 0, C.29) Получается путем обнуления в уравнении C.20) Все числа кр +1, …, сп. Сложите это конкретное решение с помощью общего решения С.26) Для соответствующей однородной системы: Общее представление решения для гетерогенных систем C.1):
X = Xo + C1X1 + C2X2 + … + Cn_rXn_r C.30) В этом уравнении Xq представляет конкретное решение C.29), Ci, C2, … …, Cn-r — произвольная постоянная, X1, X2, …, Xn-r Нормальные базовые элементы набора решений В.25) Соответствующая однородная система. Таким образом, неоднородность рассматривается в конце предыдущего пункта.
Конкретное решение системы C.21) формата C.29) равно Xo = F, 2, 0, 0). Объедините это конкретное решение с общим решением C.28) соответственно Однородная система С.27), следующая общая Гетерогенные системные решения C.21): X = F, 2,0,0) + d (- |, -i, 1, o) + C2 (-1, -2, 0, 1). (Здесь C \ и C2 — произвольные постоянные.)
Смотрите также:
