Оглавление:
Свойства непрерывного отображения множеств
- Теорема 5.7. Отображение непрерывности (функция) f: X -4 Y множества X Под отображением / обратным изображением f ~ l (B) любого открытого изображения Набор B C Y был открытым набором X. <Доказательство необходимости условий теоремы Открыт набор и карта / Непрерывно с X, A = f ~ l (B) и точкой a € A. тогда / (A) € f (A) Â B. Определение 5.3, открытый набор, В содержит окрестность V точки / (а). Из-за преемственности /, из определения 5.13 , Существует окрестность U типа / (U) C V. Поэтому ,. / (U) ⊂B и свойство (2.3), pre-image Отображение UСf ~ l (B) = L. Поэтому установите A и каждый Точка включает окрестность этой точки.
Это означает, что A открыт (по определению 5.3) Много Докажите достаточность условий теоремы по По определению 5.3, / ~ 1 (V) содержит несколько соседей U О баллах. Следовательно, любой ^ сосед V точки f (a) Exist- / (U) вблизи U точки o, как C V Согласно определению 5.13 это означает непрерывность Пункт а. ► Необходимость 5.1. Функция /: X —► Y непрерывно на X Только для картирования / обратного изображения F ~ l (B) каждого замкнутого множества CY есть Закрытый набор X. 4 На самом деле, если множество B C Y замкнуто,
Предположим, что a произвольная точка A, а V e-ok- f (d) € Y непрерывность Далее, обратное изображение f ~ x (V) Открытый набор X, который включает в себя точку а. Людмила Фирмаль
Согласно теореме 5.5 метрическое дополнение Y \ B Открытое пространство открыто. необходимо и достаточно, чтобы f ~ l (Y \ B) было открыто Набор в метрическом пространстве X. Однако из свойств (2.2) Обратное изображение карты f-1 (Y \ B) = f-l (Y) \ r1 (B) = X \ f- \ B), (5.15) И в соответствии с той же теоремой 5.5 множество / ~ 1 (B) Закрыто. И наоборот, оба СC / и / «* ()) X X Замкнутое множество, теорема 5.5 и V \ B C Y, и наоборот f ~ x (Y \ B) СX (с учетом счета (5.15)) Согласно множеству, т. Е. Теореме 5.7, функция / Установите X. ► Следствие 5.2. Функция белого /: X- ¥ уСR непрерывна
Для X множество для любого c∈R {x 6 X: f (x) c} Открытый набор {x∈X: f (x) ^ c} и {x∈X: f (x) £ c} Закрыто. * На самом деле, множество {x 6 X: f (x) набор bn 6 R : Ax -►Y непрерывна с ∈X, отображение g: Y —► Z Точка 6 = f (o) € Y и затем композиция (комплексное число) функция) к /: X-> Z непрерывна в а). <h (x) = gof (x) = g (f (x)) Для заданных функций f и q и c = q (b) = g (f (a)) = h (a). И шоу Функция h непрерывна с a. Для этого Рассмотрим любую окрестность W Z Z точки c. с того времени
- q непрерывен с 6, и в соответствии с определением 5.13, Так как Y имеет точку 7 ° ° V в точке 6, j (V) C W 03 непрерывность / такое присутствие в точке а ^ — окрестность U точки a, такая / (U) C V, и G (f (V)) Сp (V) по свойствам изображения карты (2.1). так E окрестность W точки c = A (a) € Z Экзист-Сосед U точки а 6 А A (U) = 9- = = ff (/ (U)) Cff (V) СW, То есть, согласно определению 5.13, непрерывность h О баллах. ► Эта теорема означает: функция / Множество X непрерывно, а функция g непрерывна f (X) ⊂Y установлено, и их суперпозиция h-gof непрерывна В X Пример б.10. f: продолжить X- ¥ Y
Тогда действует Функция h (x) = d (f (x), 6), x e X) является непрерывной Установить X в качестве композиции функций / Фактическая функция расстояния d непрерывно в V (См. Пример 5.7). Особенно, когда R непрерывен Вещественная функция f (x) действительной переменной x 6 R, Композитный \ f (x) \ = d (f (x). O) непрерывен на R. от Непрерывность в действительной функции f (x) -1 / x в R \ {0} (См. Пример 5.8) Следует непрерывность композиции R \ {0}
Отображение множества X в метрическое пространство d и 6 6 Y — числа с фиксированной запятой. Людмила Фирмаль
Теорема 5.9. Непрерывное компактное изображение Отображение компактно. Предположим, что 4 отображения /: Λ-> непрерывно непрерывны на X. Однако, если X компактно, f (X) У также Компактный. Обложка множества f (X) обозначена буквой U. В зависимости от определения обложки (см. 5.5), изображение / (a) является необязательным Точки, где G X должна принадлежать хотя бы одному С открытым набором крышек Q, например, Bof (a) € 6. Затем, согласно определению обратного образа множества (см. 2.1), х € / ~! (Bo), и существует f ~ 1 (Bo) согласно теореме 5.7 Мы открыты. Следовательно, обратное изображение f ~ l (B) всех открытых множеств B, O компоненты образуют открытую крышку набора X. X компактен, благодаря своему покрытию
Определение 5.12. Можно выбрать финальное подпокрытие. (Например, / -1 (Bi), / -1 (B2), •••, f ~ l (Bn)). Тогда весь Установить B \, ?? 2 из 2 •••> Bn form (открыть) крышку Установите f (X). Действительно, любой Для элемента y∈f (X) существует хотя бы один элемент x∈X, поэтому Его f (x) = y. Одно из открытого множества f «l (Bi) 1 / ~ 1 (B2) …, / ~ X (VP) (например, / ^ (B *)) всегда включает x. Следовательно, Bk содержит y. В результате Установить (X) опциональную (открытую) крышку Вы можете различить финальный подкрышка. То есть определение 5.12 f (X) компактно. ►
Теорема 5.10. Непрерывно с Compact X Вещественная функция f (x), отображающая X в R, x∈X ограничена Достигните точной нижней и верхней поверхностей X. если m = inf / (a?) и M = sup / (s), Далее есть точка x ^ X2 € A. «F (xi) = м / S = M <Согласно теореме 5.9 множество f (X) компактно, Другими словами, оно ограничено и закрыто предложением 5.2. Непустое множество, разделенное вышеуказанными числовыми строками R с естественным порядком Является ли множество f (X) C R) и по теореме 2.1 Вид сверху. Из-за свойства точного верхнего предела (см. 2.7) sUp / (X) является предельной точкой множества f (X). Поскольку это множество замкнуто, число sup / (X) e f (X) и Максимальное значение, то есть максимальное Значение функции f на множестве X
Следовательно, существует точка χe Xy такая, что f (x) = и. f (x) M, Al € A » Число m = m {f (X) e f (X) является минимальным значением Set} {X) (минимальное значение функции f (x) Установите X). В результате m ^ f (x) ^ M VxeX. (5,16) M * = max {| M |, | m |} вместо (5.16) Запишите / (*) | <ЛГVx € X, (5.17) Это означает, что функция / (x) ограничена X. ► По условию теоремы 5.10 компакт X равен По отрезку [a, 6] номера строки R. Из этой теоремы Естественные результаты продолжаются. Следствие 5.4. Непрерывный на отрезке [a, 6] Фактическая функция действительной переменной Возьмите этот сегмент, и это мин и макс Значение.
Пример 5.11 а. Функция f (x) = | x | непрерывно Сегмент [-1, 2] (см. Пример 5.7), занимающий наименьший сегмент Значение m = 0 в точке zi = 0 и максимальное значение M = 2 Точка Х2 = 2. б. Функция f (x) = l / x непрерывна в интервале [1/2/2] (см. Пример 5.8), минимальное значение m = 1/2 В точке x \ = 2 максимальное значение M = 2 в точке X2 = 1/2.
Смотрите также:
| Компактные множества | Линейно связные множества |
| Определение непрерывного отображения | Равномерная непрерывность |
