Размерность линейного пространства

Размерность линейного пространства

• Размерность линейного пространства. Как указано выше, Рассмотрим любое реальное линейное пространство R. Определение 1. Линейное пространство R называется n размерностью, В нем n линейно независимых элементов, Элемент (n + 1) уже линейно зависит. Также номер n называется размерностью пространства R.

• Размерность пространства R обычно обозначается dim R. Определение 2. Нумерация, если включены линейно независимые номера Элемент 9). В этой книге вы в основном узнаете о космосе Бесконечномерное пространство конечной размерности n Предмет специального исследования. (Они изучаются в главах 10 и 11 этой проблемы. «Основы математического анализа» Часть П. )

Линейное пространство R называется бесконечным. Людмила Фирмаль

Концепция пространственного измерения и Дано понятие основы в предыдущем абзаце. Теорема 2.5. Если R — линейное пространство размерности n, Тогда n линейно независимых элементов этого пространства Развивайте фундамент. Доказательство. Пусть ei, b2, …, en любая система n Линейно независимый элемент пространства R (не менее Одна такая система следует из определения 1).

Если x является элементом R, то по определению 1 система (N + 1) Элементы x, ei, b2, …, en линейно зависимы. Это значит Не все нулевые числа являются «о», «я», «2». Такая ярмарка 8) Помните, что произведение элемента x0 и числа A определяется как Слой Xq. 9) Чтобы показать, что пространство R бесконечномерно, Используйте следующие символы: dimI = sy.

Равенство + aiei + a2e2 + … + otnen = 0. Б.9) Обратите внимание, что число o явно отличается от нуля (в противном случае В случае уравнения B.9) линейная зависимость элементов тов еи, е2, …, ан). Однако после этого равенство B.9) было изменено на «o» и « Xi =, x2 =, …, xn =, взято из B.9) x = xiei + x2e2 + … + zhep. B.10)

• Поскольку x — произвольный элемент из R, уравнение B.10) доказано. Система элементов ei, e2, …, en является основой пространства Р. Теорема доказана. Теорема 2.6. Если линейное пространство R имеет базис, Если он состоит из n элементов, размерность R равна n. Доказательство. Элементы ei, e2, …, en система η Это основа пространства Р. (N + 1)

Элементы xi, x2, …, xn + i в этом пространстве зависят от линейности Симс 10). В основном расширяя каждый из этих элементов, xi = anei + ai2e2 + … + ainen, x2 = ft2iei + a22e2 + … + a2nen, Где ac, ai2, •• -5 tt (n + i) n к HeK0T0Pbie — действительные числа. Очевидно, что линейная зависимость элементов xi, x2, …, xn + i эквивалентна.

Валентность линейной зависимости строк матрицы l _ ™ -zl a22 ••• & 2n a (n + lJ ••• a (n + l) n Людмила Фирмаль

Однако показанные строки матрицы явно линейно зависимы. Эта матрица базового вспомогательного дока (включает в себя (n + 1) строк и n) Столбец) не превышает n и не превышает хотя бы одну из его строк (n + 1) Основна, а п) по основной второстепенной теореме.

Основная линейная комбинация (а значит и все остальное ню) линия. Теорема доказана. 10) Сформировать линейно независимую систему n для базовых элементов ei, er, …, en Сим элемент пространства R о) гл. См. Теорему 1.6 в подразделе 2 из 3. 1. Посмотрите на пример, описанный в последнюю минуту В этом абзаце размер пространства равен In%.

3 всех свободных векторов равна размерности пространства Ap Равен n, а размерность пространства {x} равна 1. Примером бесконечномерного пространства является линейный Пространство C [a, b] всех определенных функций x = x (t) и Непрерывно с отрезками a ^ t ^ b (см. § 1, § 1, Пример 4). Фактически это элемент системы для любого числа n (n + 1) Пробел 1,? ,? 2, …, tn линейно независимы (потому что В другом случае многочлен Co + C it + C2? 2 + … + Cntn, Не все коэффициенты Co, C1, …, Cn равны нулю, Равен нулю в сегменте a ^ t ^ b).

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства	Понятие изоморфизма линейных пространств
Базис и координаты	Понятие подпространства и линейной оболочки