Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства

Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства

• Понятие о линейной зависимости линейных элементов Пространство. 6) В процессе аналитической геометрии Принятие линейной зависимости векторов и параграф 1§3- предыдущей главы Понятие линейной зависимости строк (или одинаковых элементов) Рассмотрено в Примере 3 § 1 § 1 Пространства Глава).

• Обобщением этих понятий является понятие линейной зависимости. Произвольная Линейное линейное пространство R, содержащее элементы x, y, …, z, … Путем линейной комбинации элементов x, y, …, z пространства R, По желанию можно назвать сумму произведений этих элементов Вещественное число, то есть выражение вида ах + /? y + … + jz, B.1) Где a, / 3, …, 7 — действительные числа.

Элементы абсолютно любого линейного пространства, Разъяснение в процессе. Людмила Фирмаль

Определение 1. Элементы x, y, …, z в пространстве R называются Если существует такое действительное число, оно зависит от линейности a, / 3, …, 7, по крайней мере, один из которых ненулевой, то есть линейный Комбинация элементов x, y, …, z и указанного числа является подходящей Левый элемент пространства R, т.е. уравнение топор + /? y + … + 7Z = 0. B.2)

Линейно независимые элементы x, y, …, z Это называется линейной независимостью. Построить, давая другое определение линейного независимого вектора Включено в логическое отрицание содержания определения 1 Определение 2. Элементы x, y, …, z в пространстве R называются Линейно независимый, если линейная комбинация B.1) 5)

Достаточно буквально повторить доказательство, данное в теории материалов Числа (см. Вопросы в разделе «Основы математического анализа», часть 1, глава 2, §2, стр.3) Нулевой элемент пространства R только если a = / 3 = … … = 7 = 0. Теорема 2.3. Элементы x, y, …, z R был линейно зависимым, это необходимо и достаточно Одним из этих элементов была оставшаяся линейная комбинация Элемент.

Доказательство. 1) Нужно. Пусть элемент x, y, …, z линейно зависимы. Другими словами, уравнение B.2) выполняется. Из-за тора хотя бы одно из чисел a, C, …, 7 ненулевое. Дай мне Ясность, аф0. Затем введите обозначение, разделив B.2) на a. / 3 7 A =, …, μ =, B.2) можно переписать Тем не менее, x = Lu + … + / iz, B.3) Это означает, что элемент x является линейной комбинацией полицейские х, у, …, г 2) Достаточно.

• Один из элементов (например, х) Линейная комбинация оставшихся элементов. Далее это Число A, …, µ такое, что выполняется уравнение B.3). Но это последний Равенство можно переписать в виде (-1) x + Lu + … + fjiz = 0. В.4) Поскольку число (-1), A, …, μ, 1 отличается от нуля и равно Свойство B.4) устанавливает линейную зависимость элементов x, y, …, z. Теорема доказана.

Применяются два основных утверждения. 1. На самом деле, например, х = = 0, тогда уравнение B.2) справедливо для a = 1, / 3 = … = * y = 0- 2. Если некоторые элементы x, y, …, z линейно зависимы, Все эти элементы зависят от линейности. в Фактически, например, если элементы x, y, …, z зависят линейно, Уравнение f3y + … + 7Z = 0, не все числа здесь? , …, 7 Равно нулю.

Если в элементах x, y, …, z есть ноль элементов, Эти элементы линейно зависимы. Людмила Фирмаль

Но тогда с такими же числами C, …, j и a = 0 Равенство Б.2) выполнено. В заключение рассмотрим линейную зависимость элементов Введенный в подраздел 1 Пространства 3 вводный пример §1. 6) Глава 2 «Аналитическая геометрия», § 1, с. Докажите n элементов указанного пространства ei = A, 0, 0, …, 0), e2 = @, 1, 0, …, 0), e3 = @, 0, 1, …, 0), B.5) ep = @, 0, 0, …, 1) Линейно независимый, набор из n элементов B.5)

И еще один необязательный элемент x = (xi, x2, …, xn) Пространственный Ap уже формирует систему линейно зависимых элементов. Рассмотрим линейную комбинацию элемента B.5) и любого элемента «1, a2, az, …, ap. По аксиоме эта линейная комбинация Это элемент aiei + a2e2 + … + apep = (ai a2, ••., «n)> Ноль только если a \ = a2 = … = an = = 0 Однако это также означает линейную независимость элементов B.5).

Здесь мы докажем, что система состоит из n элементов из B.5). Один необязательный элемент = (xi, x2, …, xn) пробел Ap уже линейно зависит. Согласно теореме 2.3 Достаточно доказать, что элемент x = (xi, x2, …, xn) представляет Б.5) Линейная комбинация элементов. Это понятно Аксиома силы x = (xl x2, …, xn) = xiei + x2e2 + … + xpep

Смотрите также:

Предмет линейная алгебра

Определение линейного пространства	Базис и координаты
Некоторые свойства произвольных линейных пространств	Размерность линейного пространства