Якобианы

Якобианы

• Якобианы. в главе 5 мы обнаружили, что мы можем найти отношения между различными частными производными, используя теорию Якоби. Кратко рассмотрим якобиеву теорию как пример случая, когда система может быть описана 3 независимыми переменными x, y, R. Преобразование переменных x, y и Z в новый набор переменных, и V%W по уравнению у-у (Х У, Z)% В-в(Х, У, Z), ж-ж (х, у, Z) (ст. 16.）

Для реализации этого преобразования функции and, v и w должны быть функционально независимыми. Ф [У(Х, У, Z), V (х, у, Z) Т Ж(х% у, z)| = 0,(Б. 17.） Где F-нетривиальная функция этих переменных, т. е. 3 частных производных dFjdu и dFjdi） И по крайней мере 1 из dF / dw не равно нулю. если мы получим частичную производную от F относительно x, y, z, то получим: ДФ Ди ДФ 1 дв + ДТ ДГ Ди ДХ ДВ ДХ ДГ ДХ Ди ДФ + ДФ ДВ + ДТ ДГ Ди ду ДВ ды ды ды Ди ДФ + ДФ ДВ + ДТ ДГ Ди Гц ДВ-ДФ ДГ ДЗ Да. = 0、 (В. 18.） = 0.

• Система уравнений (B. 18) если существует нетривиальное решение, то Якобиан или определитель функции g (u, v, w) определяется уравнением/ d (xt y, r） (Ст. 19.） д(U, Вт Вт）_ Д(х, г, г） дю ДВ ДГ ДХ ДХ. дуплексный. дю ДВ ДГ ды ды ды дю ДВ ДГ ДЗ ДЗ ДЗ Равный нулю. Пример. Для читателя, Якобиан преобразования И (x, y, z)= x \ ny, v (x, 3/, 2)= cos z、 Вт(х%у, Z)= Z от греха(Б. 20.） Исчезла и Формула (B. 17) найти соответствующую функцию F (u, v, w). Преобразование по Якобиану, равное нулю, исключается из рассмотрения.

Например, Интеграл / = Дж * дж. Ф. (Х, г) ДХ ды,(Б. 21.） Интегрирование выполняется в конечной области пространства xy. Этот Интеграл может быть вычислен путем записи: 1 = [dx [dyF(x, y). (B. 22.） Преобразование переменных x, y в новые переменные или v с помощью уравнения Х == Форекс(U, в),(Б. 23а.） г = Ф2(у, в),(Б. 236.） Подумайте об интегралах [ > /), (B. 24.） Где x считается константой. Уравнения (B. 23a) и уравнение (B. 236) переходят от независимых переменных x и y к переменным x и V. следовательно, находим Джей ды Ф(Х,(Х. В).(В. 25.）

Якобиан найден в теории множественного интеграла при изменении интегральных переменных. Людмила Фирмаль

Уравнения (B. 23) из дл = df1, df1du_0 = df1_> диджей±ДВ du_ 1 ди ДВ Ди * Ди ДВ ы ’ И за исключением дуйдв、 Итак мы добираемся до интеграла / = J в рфт»/ （。»） (B. 29.） Куда? д / ДХ. Диди. д / 2. ДВ ДВ j_ Д(х%у)_ д(U, V с） (В. 28.） Интеграл на L: потому что она выполнена постоянной в Формуле(Б. Из (23а) (Б. 30.） (B. 31.） — Ду, де. И напоследок / = Дж / ’(и V) Jdudv.

• Область консолидации этого выражения берется непосредственно из исходной области консолидации с помощью преобразования (B. 23). как это обычно бывает, малое значение считается нижней границей интеграла, а большое значение считается верхней границей: / = J F (u, v) / J / dud(B. 32.）

В общем случае, изменяя переменную xv•*, xn£1, » * * * в Интеграле Дж•• * дж. Ф. dxx по-dx2•• — dxuF (ХV * * хп (Б. 33.） Мы получаем (B. 34.） Доказательство справедливости этого обобщения предоставляется читателю.

[см. 5.2）] Д (х, г, р) д(т, ч 0 _ д(•*.г «р«） (B. 35.） 0 (ξ.Λ * в)V, W) и М (а, В. Идентичность (B. 35) продолжается сразу после умножения матрицы. Частным случаем этого тождества является равенство г (х, г, р) гг (£.Л. С.） «(FcVO-La ^ y »* > J•(B ’ 36）

После выяснения роли Якобиана в преобразовании Интеграла можно проверить достоверность тождества. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет термодинамика

Множители Лагранжа	Г. Отрицательные температуры
Преобразования Лежандра	Вводные определения