Оглавление:
Область сходимости степенного ряда. Круг сходимости
- Область сходимости степенных рядов. Круг схождения. Пусть z = r — любая точка на положительной вещественной полуоси. Если степенной ряд сходится при z = r, круг \ z \ =. Сходится в абсолютно каждой точке R. В частности, оно сходится для всех положительных вещественных значений с z> меньше, чем r>. Теперь разделите все точки положительного действительного значения oluosi на два класса: класс значений, в котором сходится ряд, и класс значений, в котором расходится ряд.
Ряды могут сходиться для всех значений z, поэтому второго класса может не существовать. Однако предположим, что этот второй класс существует и что первый класс содержит точку, отличную от z-0. Понятно, что каждая точка первого класса находится слева от каждой точки второго класса. Таким образом, существует точка, которая разделяет эти два класса, например точка z = R. Сам этот пункт может принадлежать одному из них.
Первый из этих классов всегда содержит хотя бы одну точку z = 0. Людмила Фирмаль
Тогда строка _ Он отлично сходится на всех тонах. Ох, в кругу Предположим, что этот круг пересекает OX в точке A (рисунок 47), а P является внутренней точкой. Можно нарисовать круг Центрируется на O с радиусом меньше, чем точка P. Крест этот круг с OX на Q. Ряд тогда сходится с Q. Следовательно, теорема B полностью сходится в точке P. С другой стороны, ряд не может сходиться в точке P вне круга радиуса R. При сходе в точке P она сходится в абсолютно всех точках, близких к O. 4-GT Ширина х Та же фигура. 47
Из П ‘. Но это невозможно. Потому что ряд не сходится ни в одной точке между A и Q ‘. До сих пор мы исключили случай, когда степенной ряд (1) не сходится ни в одной точке на положительной вещественной полуоси (кроме z = 0), и (2) он сходится где угодно. Метод Тахилса дает следующие результаты: Степенной ряд (1) сходятся при z = 0, но не при других значениях z, или (2) абсолютно сходятся для всех значений z, или (3)
| Ряды с комплекснымй членами | Однозначность степенного ряда |
| Степенные ряды | Умножение рядов |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Абсолютно сходится для всех значений z внутри определенной окружности радиуса R, но не для значений z вне этой окружности. В случае (3) круг с радиусом R называется кругом сходимости, а радиус R называется радиусом сходимости степенных рядов. Обратите внимание, что этот общий результат не включает описание поведения степенных рядов на сходимости.
Следующий пример показывает, что на самом деле могут быть разные случаи. Людмила Фирмаль
