Оглавление:
Умножение рядов с положительными членами
- Умножение рядов с положительными членами. Следующая теорема является прямым результатом теоремы Дирихле. Если u04- + и * + .. • и v0 + Vt + … — два сходящихся ряда с положительными членами, а s и t — их сумма, ряд yv * o + + vi) + («Л +» Л + иОЩ) + ••• Это также сходится и имеет общую ул. Описывает все возможные продукты в формате umvn в виде бесконечной таблицы «0 * 0» 1 * 0 «2 * 0» 3 * 0 •• «0 * 1» 1 * 1 «2 * 1» 3 * 1 •• «0 * 2» 1 * 2 «2 * 2» 3 * 2 •• «0 * 3 uxv s» 2 * 3 «3 * 3 ••
Из этих членов вы можете создавать две простые последовательности различными способами, особенно: (1) Начните с единственного члена u0vQi для tn — \ — n = 0 \ и возьмите два члена utv0 и u0vv для m — {- n == 1; Тогда для трех слагаемых u {Ov uQv3, m — \ — n = 2. Тогда получите сериал. «O *> 0 + +» o * i) + («A +» 1 * 1 + uovi) + •••• появляется в теореме. (2) Начнем с сингулярного u0vQi, где оба индекса равны нулю. Далее получаем член, индекс {O0, uxvv u0vlt не превышает 1, но хотя бы один индекс равен 1. Д. Сумма этих групп членов равна («O + tfi) (* o + * i) -» ove «(» о + Н + ui) (* о + * i + * з) — («о +» i) (* о + * i) > А сумма первых n 1 групп равна («O + ui +. •• +» «) (* o + * i + • + * l)>
Тогда, если члены u2v0> u2vJf u2v2, uxvt1 и 0g / 2, индекс не превышает 2, но по крайней мере один индекс равен 2 и т. Людмила Фирмаль
Существует тенденция стать st как n- + co. Когда вы формируете итоговую сумму таким образом, итоговая сумма первой, первой, второй, третьей, … группы включает все элементы первого, второго, третьего, … прямоугольника в таблице выше. Он включен. Сумма рядов, образованных вторым методом, равна ст. Однако первая строка (если скобки удалены) является перестановкой второй строки и сходится к полному st по теореме Дирихле. Теорема доказана. Пример 1. Если r <1, l + ^ -f r + r * + t * + r * + … = \ + r + r> + r * + r * + r ‘+ … = * • 21). Если любой из рядов u0 — {- и {-f •••> t »0 + t> i + … разветвляется, ряд разветвляется «из о 4- (» я ^ о 4-тфофи) + («с ^ о -f- 1 + -f -…,
Исключите тривиальный случай тог, где каждый член другого ряда равен нулю. 3. Ряды от m0 4 до ui + ••• t Po + vi 4 * •••> o + wi 4 * ••• сходятся к общему r, s, t, затем > A = Z UmVnWpi Кроме того, сумма выполняется во всех системах со значениями m, n и p, так что * m 4-n 4-p = kt сходится к сумме rst. 4. Если ряды £ un и Evn сходятся на суммарных s и t, ряд vwn, где Wn = я ulvm> Кроме того, сумма делается для всех пар значений m, где 1 m = n и сходится к сумме st. 178. Дальнейшие признаки сближения и расхождения.
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Признаки, основанные на отношениях соседних членов ряда | Теорема Абеля (Прингсхейма) |
| Теорема Дирихле | Интегральный признак Маклорена (или Коши) |
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Примеры, показанные на страницах 343-6, показывают, что существует простой и интересный тип рядов с положительными терминами, и что подразделы имеют общие черты. 174-5 не применяется. конечно При рассмотрении нескольких простых серий Организация Объединенных Наций / r- * имеет тенденцию быть ограниченным, как со, знак nn. Если этот предел равен 1, 174-5 обычно не применяются. Так что в примере это LXV1II. 5 Эти знаки не применяются и должны основываться на особых соображениях. По сути, это было применить для сравнения вместо геометрической прогрессии ряда в Примере LXVIII. 4.
174-5, не только сходятся, но и сходятся очень бистро. Поэтому признаки, полученные при сравнении с ней, очень естественные и очень грубые. Во многих случаях требуются более тонкие признаки. В примере XXVII. 7. Доказано, что 0V 0 для η-> co при r <1 независимо от значения k. Примером является LXVIII. Докажите, что 1 серия пкггсход сходится. В результате последовательность g, g *, g «, …, g», …, где / ‘<1, уменьшаются быстрее, чем последовательность 1- *, 2- », 3- *, …, nb …
Это связано с тем, что это геометрическая прогрессия по сравнению с символами абзаца, которые были получены. Людмила Фирмаль
Это кажется противоречивым, если r не намного меньше 1 и k велико. Так из последовательности 2 4 8 1 1 м 3, (J, 27> 4096> 531,441 ‘ (2 \ n Как n ~ pu секунд со мной На первый взгляд, он уменьшается гораздо быстрее, чем в начале. Однако, если вы получите довольно отдаленные члены этих последовательностей, вы можете быть уверены, что члены первой последовательности будут намного меньше, чем члены второй последовательности. Например / 2 \ 4 16 1/2 \ 12/1 \ 3/1 \ 2/2 \ 10CO M \ 166 (H) = 81 <5 ‘<(5j <(r0j.U) <(10)’
С другой стороны 1 ООО-1 * = 10 30 Следовательно, 1000-й член первой последовательности в 10 раз меньше соответствующего члена второй последовательности. Итак, линия Сходится намного быстрее чем линии И этот столбец сходится гораздо быстрее, чем столбец Сэр * 1) — Есть два знака: знак целого числа Magellare (или Коши) и знак конденсации Коши, который особенно полезен, когда эти знаки взяты из параграфов. 174-5 не применяется.
Упомянутые выше особенности Маклаурина и Коши делают еще одно дополнительное предположение относительно uni: un, монотонно убывающего при увеличении n. В самом важном случае это условие выполняется. Но прежде чем перейти к этим двум функциям, мы докажем одну простую, но важную теорему. Это называется теорема Абеля *). Это дает необходимые условия для сходимости поля с монотонно убывающим положительным членом.
