Определение производной

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Определение производной

Определение производных инструментов. Допустим,как и в пункте 1, функция x/= / (x)определена в интервале (a, B), x-фиксированная точка этого интервала, Oh число x+Ah также настолько мало, что принадлежит интервалу. Если мы предположим, что DX=I=0, то в этом отношении мы помещаем эти f и K C и p o в n-o-ю точку x, тогда мы вычисляем отношение приращения\y функции y=(x) в этой точке к

соответствующему приращению аргумента Ah.: Lu_ _ +DH), 5 5) DH DH’ Отношение (5.5) называется R a z n o s t n s m OTN Osh(это точка x). Поскольку X фиксирован, разностное отношение (5.5) является функцией аргумента Ah. Эта функция определяется в любом месте хорошо пробитой B окрестности точки Ah=0, то есть точки Ah=0, за исключением того, что она находится в достаточно малой окрестности точки Ah=0, что дает право считать существование предела функции, заданного Ah — >0. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е1.

P R o I z V o d n o n o f N K C i i i y=) (x) эта фиксированная точка x называется Людмила Фирмаль

пределом разностного отношения DX->0 (5.5) (если этот предел существует). Производная функции^=/(x) в данной неподвижной точке x обозначается знаком G(x) или y'(x) или коротким символом y’.§1. Понятие производной 191 Так что по определению/'(x)=PT=PT7 («±^).- И Х). д* -, О Д * — +О Д* — Если функция/(x) имеет точку x и предел справа и слева (оба равны одному и тому же числу B), то функция/(x) имеет предел, равный числу B в этой точке. Если функция имеет

производные для всех точек x интервала (a, B), то эта производная становится функцией аргумента x, определяемого интервалом(a, B). Вот два простых примера вычисления производной # 1°. /(Х)=ы=sopz1. Ясно, что производная/'(x) этой функции равна нулю, так как приращение этой функции AG/=/(x+Ah)—/(x) равно нулю для всех x и всех Ah. 2°. /(x)=X.In эта функция, отношение разницы (5.5). Равномерно Du_(х+ДХ)-h_DH_|Dн Dн Dн Производная этой функции равна единице в

любой точке x бесконечной прямой. По полной аналогии с понятием правого и левого пределов функции в данной точке можно различить N R AB o th и l e Th производных функции y=/(x) в данной неподвижной точке x. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. N p a [слева] производной функции Y=NX в данной фиксированной точке называется правый [левый]предел разностного отношения (5.5) в точке Ah=0 (если этот предел существует). Символ/'(x+0) [/'(x—0)] используется для обозначения правой [левой] производной функции в точке x. Из сравнения

определений 1 и 2, из свойств правого и левого пределов функций, установленных в пункте 2§4Chapter3, следует следующее утверждение: 1) функция} (x) является производной в точке x}'(x), g(x)=g (x+0)=g(X-0). В дополнение к утверждению 2), если функция/(x) имеет правую и левую производные в точке x»,

но эти производные не равны друг другу, то эта функция не имеет 192 Главы 5. xимеет Людмила Фирмаль

производную. Примером такой функции является функция (-х<0. Точка x = имеет правую производную, равную 0, и левую производную, равную NT — — — 1, d — » — O DX Эта особенность 1 5Т= Но x=0 не имеет производной.

n-ые производные некоторых функций	Определение криволинейного интеграла первого типа
Умножение неквадратных функциональных матриц	Сведение к обыкновенному определенному интегралу