Оглавление:
О покрытиях множества системой открытый множеств
- Откройте комплект системы с помощью набора крышек.§7. Понятие компактности множества 185 О п р ЕД е л я Е1. Система{2O открытого множества{2A}образует n o r y t I e m, и если какая-либо точка x множества{%}принадлежит хотя бы одному из множеств системы{2″}, то она съедает VA{x}. Доказаны две замечательные леммы для покрытия множества системой открытых множеств. Л е м А Г О-Б или я д л и С Е Г М е н т а ел. Из любой системы (2A) образуется крышка
открытого множества 2 » сегмента[a,b],которая также выделяет конечную подсистему, образующую крышку этого сегмента. Д О К а з а т е л ь с т в о. открытое множество 2 бесконечной системы{2A}образует оболочку отрезка[a, B*.] * Если система{2O}, образующая покрытие отрезка[a,&], не бесконечна,то Лемма будет доказана. Предположим, что отрезок 1=[a, B]
не может быть покрыт конечным множеством из{2A}. Тогда, если мы разделим этот сегмент пополам, Людмила Фирмаль
выразим в C, что по крайней мере одна половина сегмента не может быть покрыта открытым множеством конечных множеств из системы{2A}. Если вы разделите C пополам, по крайней мере одна из половин/1 (представляющая его в/2) не может быть покрыта конечным множеством из системы{2A}. Если мы пойдем дальше с этим выводом, мы получим систему вложенных сегментов { / » }, каждый из которых не может быть покрыт конечным набором систем{2A}. Длина L-го сегмента 1P равна 1/2 части длины основного сегмента 1=[a, B] и стремится к нулю В d — >OO. Следствием теоремы 3.15(см. Главу 2, раздел 3) является наличие одной точки C,
принадлежащей всем отрезкам{Il}. Так как эта точка C принадлежит основному отрезку 1=[a, B], то система{2A}имеет открытое множество 2-принадлежащее точке C. множество 2 » открыто и интервал (C-b, C+b) также принадлежит множеству 2A-все отрезки 1P содержат точку C, длина этих интервалов стремится к нулю в n->OO, поэтому она равна n>P0. Но это означает, что все сегменты 1P из D>Po могут быть покрыты множеством 2 «System{2″}. Таким образом, это не согласуется с утверждением, что сегмент 1p не может быть покрыт конечным множеством из системы{2»}. Полученное противоречие завершает
- доказательство леммы. Давайте теперь докажем более общее утверждение.186Ч. 4. Непрерывность функций Z m K n U t o O go O g R a N I h I N o go m N f E S t V a, обратитесь к L E m A G E y n e-B o R e l I. Из любой системы{x}открытого множества{2″}, образующей покрытие замкнутого ограниченного множества{x}, можно выделить, что конечная подсистема образует покрытие множества{x}. D o K a z a t e l
s T V o. {X} — замкнутое ограниченное множество, {2″} — множество {x}покрытий, образующих открытое множество систем. Поскольку множество{x}ограничено, существует сегмент[a,&], содержащий это множество. Заметим, что 2p представляет собой открытое множество, которое дополняет замкнутое множество{x}, А Объединение системы{2″}и открытого множества 2₽образует покрытие сегмента[a, B]. С помощью леммы Гейне-Бореля для сегментов конечные подсистемы можно отличить от этого покрытия, которое образует покрытие сегментов[A, B].
Если множество 2P входит в эту конечную подсистему, то при его удалении получается конечная подсистема Людмила Фирмаль
системы{2A}и образуется оболочка множества*.{икс} * Считайте, что множество EP, дополняющее множество{x}, не содержит точек в множестве{x}. ** Термин «компактность» см. В главе 2, главе 3, главе 12. — Если множество 2π не является частью конечной подсистемы, образующей покрытие отрезка[a, B], то эта конечная подсистема является только частью множества 2A или леммы системы{2A}.
Смотрите также:
Методическое пособие по математическому анализу
| Отыскание максимального и минимального значений функции, определенной на сегменте. | Понятие компактности множества |
| Неопределенный интеграл | Функциональные определители |
