Показательная функция. Начнем наше рассмотрение с определения рациональных степеней положительных чисел. Для того чтобы возвести любое вещественное число х в цел^ю положительную степень п, следует умножить это число х само на себя п раз.

Показательная функция

• Экспоненциальная функция. Начнем рассмотрение с определения рационального числа положительных чисел. Чтобы поднять любое вещественное число x до положительной целой степени n, это число x должно быть умножено на себя n раз.§3. Первичная первичная функция 139 Таким образом, для целого n, для всех действительных значений x, мы можем ясно представить его как степенную функцию y=CP. Давайте установим простое свойство этой функции. У ТВ ЕР Ж Д Е Н и Е1. Степенная функция у=ХП Х^О, и, как правило, положительный N увеличивается и непрерывными. Д О К а за т е л ь с т. показано, что функция y = CP возрастает. Допустим, 0=O1X1’g, что

означает увеличение функции y-XP в x^O. В Примере 1 этой главы 1§1 непрерывность функции g / =CP устанавливается в любой точке A бесконечной прямой (—OO,+OO). Утверждение 1 было доказано. Рассмотрим степенную функцию y=CP для отрезка[O, Y]. Поскольку эта функция непрерывно увеличивается в указанном сегменте, благодаря теореме 4.5, сегмент[O, Y»]является обратной функцией, которая продолжает увеличиваться, что составляет x=uk1p, и поэтому функция x=Y1/n определена для всех неотрицательных значений y.изменяя обозначение этого аргумента функции y на x и обозначение функции x на y, мы получаем степенную функцию g/=x1/n, определенную для всех действительных чисел x>0.

Во-первых, мы определяем реальное количество ah1p Дак B, который равен Людмила Фирмаль

значению функции Х1/н в точке А. Далее, g= — где t и n-положительные целые числа, а n-тогда Тонны АГ=а п=({/р) т. Далее, по определению, ставим a°=1, — g=при g>0. Таким образом, мы определили произвольную разумную степень положительного вещественного числа a. Удовлетворяются следующие свойства рациональной степени положительного вещественного числа: (AG)!<=АГ-5, АГ-БГ=(А-Б)г,АГ-А5 = АГ+!:. ( * ) Сначала докажем эффективность первого свойства (). Тонны Обратите внимание, что для положительного p в целом, равно (a») » =140 Глава 4. Непрерывность функций т-р Поскольку и левая, и правая части этого уравнения равны произведению самого числа a1/I, то, конечно, верно, что t и n понимаются как произвольные положительные целые числа=a». Предполагая, что g= -^ -, z= — ^ — >

мы доказываем равенство (AG) 3-8-AG z в любом положительном рациональном g и ситуации. Поло-T1T2Tg-T2S1=(а л) «нажмите’ >С2 P1pg. Если C1 отличался от C2, то из увеличения степенной функции y=CpG следует соотношение C1″ ‘y=C2» 2, последнее. Полученное соотношение противоречит равенству (a»‘) l’ =a, которое уже было доказано для целых положительных чисел t N1 и t2. Таким образом, C1=C2, и первое уравнение () доказано для любых положительных рациональных g и 5. Распространение этой эквивалентности на неположительные g и 5 не является трудным из-за согласия, что A0 равно 1 и—g= — g>0. г Предполагая, что это g равно t/n, t и n-положительные целые числа, а равенство A {/n-X!p — (a-B) 1/n доказывает общее отношение AG-BG=(a-B) g для умножения t такого уравнения. 1/ha-B1/ha=(a-y) доказать эквивалентность 1/n, для свойс

• тв обратных функций y=x1/n и x=y n друг к другу, (&1/l) L=a, (A1/l) l=a, ((a6) 1 / l) L==a констатировать равенство a-b=a. Учитывая, что первые два уже доказаны, докажите последнее свойство (). Пусть g= -^~, z-тогда G=\PG P2 Т^ — ПГ П Т2-Щ ~- — — — — — — •И мы придем к следующему равенству: #1■^2 (T^ — P2 и T2-N\ — целые числа, поэтому последнее уравнение выполняется.§3. Начальная школа элементарная функция 141 И так оно и есть., А — А3=а Т1-Р2 — \ — T2P1T1,T2_ » ПГ ‘ б 1и|. =^=A g+3, |По мере необходимости. Для A>1 и рационального g>0 справедливо Неравенство для ag>1. В самом деле, пусть g= — и AG=in/»<1. Умножение на п Член n этих неравенств получается в^1. Однако это неравенство противоречит неравенству>1, которое получается путем умножения неравенства t в виде a>1. Также обратите внимание, что если рациональная дробь g-имеет нечетный знаменатель p, то

определение рациональных чисел может быть расширено до отрицательных чисел. Если (—а)г=АГ Т даже, если(-А) Г= — АГ t нечетно. Убедимся, что функция y=Ah>1, определенная нами для множества рациональных чисел, монотонно возрастает в этом множестве. Действительно, допустим, что это два рациональных числа, таких как g2>G1. Затем Ниже приведен пример следующего (4.3), поскольку G2 являются p>0 и a>1 (по вышеуказанным причинам)’ Таким образом, правая сторона равенства (4.3) положительна. И так оно и есть., — гг>о,т е АГ2>в Г2< При необходимости. Наконец, определите функцию y-Ah не только для рационального значения x, но и для любого x из sch E STV e n s Z n s z n a h e n. рассмотрим все возможные рациональные числа a и p, чтобы удовлетворить неравенству A1 как действительное y, удовлетворяющее неравенству Удовлетворяют AA^u^(4.5) неравенствам (4.4)

для всех возможных разумных a и p. Оказывается, такие цифры есть, а уж тем более только одна. Таким образом, функция y=Ah определяется в Людмила Фирмаль

множестве всех действительных чисел X. Показано, что эта функция непрерывно возрастает через реальную линию. Эти результаты включены в следующую инструкцию: У ТВ ЕР Ж Д Е Н и Е2. Для фиксированных действительных чисел x и a>1 и всех возможных рациональных чисел a и p, удовлетворяющих неравенству (4.4), существует только одно действительное число y, удовлетворяющее неравенству(4.5). Д О К а з а т е л ь с Т В О. мы исправляем любое рациональное число Р, удовлетворяющее правому неравенству(4.4), и считаем, что все возможные рациональные числа а удовлетворяют левому неравенству(4.4). Поскольку экспоненциальная функция, определяемая множеством A0, AB-a » по состоянию на 1, давление положительное. Используя первые два члена бинома Ньютона, мы получаем его И= (0 1/p) «=(1+BP) » >1+p.6P. Итак, a-1>p-BP, т. е. 0<6<^ —

означает A1/p-1<—•、 Н давайте теперь выберете природы Н удовлетворяют неравенству а-1, что (а-1),а-1,е——-< —»- или Р>. Тогда 1/l-1<< — п АР< / е п АР° И доказательство очевидного определения числа y, удовлетворяющего неравенству (4.5), является полным. Утверждение 2 доказано. Если X-рациональное число, а Ah-значение первой определенной экспоненциальной точки x только для набора рациональных чисел, то Ah-единственное число y, удовлетворяющее неравенству (4.5). У ТВ е р ж д е н и Е3. Экспоненциальная функция a>1, y=Ah, возрастает по всей бесконечной линии. Д О К а з а т е л ь с Т В О. пусть X1 и x2-любые два действительных числа типа X1<АА,и Аа>и=, то сделать это ах<ах’,и эта подготовка повышение функции Ах. Это утверждение доказано. У ТВ ЕР Ж Д Е Н и Е4. Экспоненциальная функция y=Ah из a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой. D o K a z a t e l s T V o. по определению

смежности Гейне такое число существует для любого e>0, достаточно доказать, что\an-Ah|0, а затем зафиксировать рациональное число a и p A0 такие рациональные числа a и p устанавливают в утверждении 2 последовательности{XP}сходятся к x и an и Ah заключены между двумя числами AA и ar, и в разнице n^N, где ar-AA меньше E, справедливо неравенство 144 Главы 4. Непрерывность функций \Ah» — n* / где B>1. Таким образом, функция y=Ah при 01. Но С Л Е Д С Т В и Е1. Показатель степени a>1, y=Ah, положителен (для всех значений x). Если X-произвольная точка на числовой оси, а g-рациональное число типа g0, а A>1, 3ah>AG, следовательно, Ah>0. С Л Е Д С Т В и Е2. Экспоненциальная функция u=Ah из a>1 удовлетворяет условиям

itph=0, n TPH=+1, поэтому a=14-b, где b>0 и AP==(1+6) p>P6. Итак, Nshpp=+OO. Из-за монотонности функции y=Ah получаем N t A x=+o o. так как X «I OO» — ‘ ! = — , То N ta_p=0, следовательно i-й=0. АП П — + / Х>Х — * — ОО С Л ЕД с Т В и Е3. Значение функции y=Ah в a>1 удовлетворяет положительной полупрямой y > 0 в целом. Действительно, в соответствии с результатом 1 функция y=Ah принимает только положительные значения, а в соответствии с результатом 2 она принимает как произвольное малое положительное значение, так и произвольное большое положительное значение. Из теоремы 4.4 с непрерывностью и точной монотонностью Ah следует, что любое

положительное число является значением функции y=Ah. И l ed TV и e4. Отношения между любым реальным х[и xG (а’)х=Ах^х’, А — Г=(А-Б)х’, А^х^=а^+ХГ действует. Фактически эти соотношения уже установлены для обоснованных показателей. Это подразумевает адекватность любым фактическим показателям. Например, будьте уверены в справедливости первых отношений. Пусть {G’P}и{GP} — последовательность рациональных чисел, сходящихся с-g* «‘ gответственно к X]и x^. Пройти к пределу п-^-оо и использовать непрерывности экспоненциальной функции, чтобы получить (аж1) Х2=Ах’ -^. Аналогично устанавливаются и другие равенства. Обратите внимание, что я действительно посмотрел на свойство экспоненциального y=Ah 01 и 0, C1)=PR-и>1;3)функция CX) непрерывна при x=0. Это так весело.

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Теорема о нуле производной	Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной.
Понятие обратной функции	Производная векторной функции