Оглавление:
Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности
- Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Верно следующее основное утверждение. О н В А Н И Т Е О Р Е М А3. 15. Если последовательность { % » }, которая не уменьшается (не увеличивается), имеет границу вверху (внизу), она будет сходиться. Д О К а з а т е л ь с т в о. рассмотрим случай неубывающих и вершинных ограниченных массивов{CP}. Заметим,
что множество всех элементов такой последовательности имеет границу сверху, следовательно, согласно основной теореме главы 2.1, это множество имеет точную верхнюю поверхность, а это означает, что по определению любые XL элементы верхней поверхности последовательности{XP}удовлетворяют неравенствам. (3.31) Далее, обратите внимание, что существует по крайней мере один
элемент последовательности, который удовлетворяет неравенству, исправляя любое положительное число e и определяя точную верхнюю Людмила Фирмаль
поверхность. х-е<ХХ-(3.32)§2. Монотонная последовательность 85 Сравнивая неравенство x, сравнивая y],… 1) Если каждый следующий сегмент входит в предыдущий сегмент, т. е. AP — OO. С Л Е Д С Т В и Е Тео Р ЭМ ы3. 15. Для всех контрактных систем сегмент{[AP, BP]} имеет одну точку C, которая принадлежит всем сегментам этой системы.86 Глава 3. Теория пределов Д О К а з а т е л ь с т в о. Во-первых, заметим, что точка с, принадлежащая всем отрезкам, является единственной. На самом деле, если есть другая точка y, отличная от C, и она
принадлежит всем сегментам (1>C, сегмент[C, C1\гарантирует, что он принадлежит всем сегментам[AP, BP], но для любого числа n будет выполнено неравенство-AP x1-C>0, и это тот факт, что m—NPO NPO-AP-0). это невозможно сделать. Докажем, что существует точка C, принадлежащая всем отрезкам. Поскольку система сегмента сжимается, последовательность самого левого символа{AP}не уменьшается, а последовательность самого правого символа{AP}не увеличивается. Поскольку обе эти последовательности ограничены(все элементы находятся в отрезке[ay&1]), обе
- сходятся(благодаря теореме 3.15). Из того факта, что разница BP-AP бесконечно мала, эти две последовательности{AP}и{&»}будут сходиться к общим пределам, которые мы показываем C. Примечание 3: для любого числа n справедливо неравенство AP_ 1 П+1 Два. +• — §2. Монотонная последовательность 87 +1 (Р+1)! с-1р+1 Чтобы убедиться, что последовательность{CP}увеличивается, сравните выражение (3.34) с (3.35). Во-первых, правая часть(3.34) состоит из n членов,правая часть(3.35) состоит из N+1 членов, а последняя часть (и+1)-правая часть (3.35) строго положительна. Теперь сравним остальные n терминов в правой части(3.35) с соответствующими n терминами в
правой части(3.34). Это легко увидеть для любого числа K, равного 2, 3…. в p выполняется следующее неравенство Два. П+1 К—\ \ П+1 / Это последнее неравенство означает, что y-й член(3.34)правой части меньше соответствующего y-го члена (3.35) правой части. Таким образом, мы доказали, что CP2! =2-3… Таким образом, неравенство(3.36) равно x<2 + — + -!- +… + — — 3 ——- < 3 . (3.37) Л2 22 2-я ‘1 2″-1 (Мы использовали формулу для суммы членов в геометрическом ряду.Неравенство(3.37)
доказывает предел последовательности{CP}. Согласно основной теореме 3.15, последовательность{CP}имеет предел, и L. следуя Эйлеру*, мы Людмила Фирмаль
представляем e. * Леонард Эйлер (1707-1783)-великий математик, член Петербургской Академии наук, большую часть своей жизни провел в русско-швейцарском происхождении.88Ч. 3. Теория пределов Убедитесь, что число e удовлетворяет неравенству 2<e<3. Для этого (по результату теоремы 2 3.13) достаточно доказать, что каждый элемент последовательности XP{XP}удовлетворяет неравенству 2<e<3. Неравенство CP<3 следует из (3.37), неравенство-из (3.34), и если отбросить все члены, кроме первого члена, то оно следует из (3.34). Тогда оказывается, что число Е играет важную роль в математике, и определяется метод вычисления этого числа с произвольной точностью.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
