Замкнутость тригонометрической системы.

Оглавление:

Замкнутость тригонометрической системы.

Замыкание тригонометрической системы. Теперь давайте применим все это к тригонометрической системе функций, в частности 1, поп-ч, 81p сек, поп-2х, 81p2x,. . . , Поп-й, 81п-й,… (5) интервал[0, 2K]*). * ) Как

главное в дальнейшем удобнее запоминать интервалы[0, 2TE]. Вместо суммы вида(1) здесь нужно рассматривать т р и Г О Н О М е т р И Ч Е С К и е м н о го х л е н ы п 7′ * л (-:)=л+2С(т х а-V Т8 Трансальп ч). (1А)

Т=1 Их функция/(x) приближения к»в среднем» характеризуется как 2л Людмила Фирмаль

Фиксированные n a и m n n s e значения этого значения обеспечивают соответствующие сегменты ряда Фурье, как следует из общего вывода p8P(ч)=~ — {- (т поп т ч+8Y1t*) — ВЗ=1 Наименьшее значение само по себе представлено равенством 2л Восемь. Л = *) л)-ГП^/=(= Отчет 2л п 2(А»+М>(2а) О Компании T= \ Это представляет собой идентификатор

Бесселя системы(5). Далее следует сходимость ряда, состоящего из квадрата коэффициентов Фурье и неравенств Бесселя, как в общем случае р2l от U+2(а-+стринги-(3А) Т=1O414]§4. Функция закрытия и целостности системы 413 Однако для некоторых рассматриваемых систем тригонометрических функций этот результат может быть уточнен, и вопрос, поставленный в конце предыдущего числа,

полностью решен. Если быть точным, то выполняются следующие важные теоремы. То, что КАС в стенах-это интервал[0, 2К]непрерывная функция/(х) NT8L=это Таким образом, сумма VP (x) сходится к функции/(x)»среднее». Другими словами, приведенная выше функция f (x) всегда y p A b n e N I E z a M K n u t o s I O o o o o 2Р 2 + нет. (*)•) * (4А) * ) Пристальное рассмотрение вопроса об этом соотношении восходит к началу XIX века,но первое строгое доказательство его, по-видимому, было дано лишь в 1892 году, когда

ему принадлежит термин «уравнение замыкания». в сертификации T-1O используются оба эквивалентных состава, в зависимости от удобства. Мы сделаем доказательство на каком-то этапе. 1°. Давайте сначала установим одно вспомогательное неравенство. Рассмотрим две кусочно-непрерывные функции:/(x),/(x) и пусть/(x)=/(x)± / (x). Обозначим тире в начале значения,

связанного с функцией/и/, очевидно,/-5″=(7-TP)±(7-7P). Из основного неравенства (A± * B) 2 (A2-| — Людмила Фирмаль

Y2) получаем (/- До налогообложения 5ya)2 2 2[7-ГЯ)2+(7-в ] , Таким образом, 2-я (/ — $») 2 (1х^2О 2л {5 ( / — ^)2^ + 5 7 — Отчет (6) Если оба правых интеграла в/g — >OO равны 0, то левые интегралы равны 0. Другими словами, если уравнение замыкания выполняется отдельно для двух функций/и/, то оно выполняется для их суммы или разности/=f±/. Этот результат, очевидно, также содержит сумму некоторых функций.414 глава XXIV. серия ФУРВ[414 2°. Теперь рассмотрим простую функцию/a (x), которая принимает только значения d VA: Один., Отчет — Для 0^x в других точках. Для этого

легко проверить достижение уравнения замыкания, опираясь на известное нам разложение [n°406, см. 4).]: ОО Х2 Текс В и поп-1Т-2 2А г? с-1 Действительно, для наших возможностей один п Девять. 81Р ПА. П9 1-поп ПА Так что это ООУ ООУ 1П=1 81P2PA (1-POPS p a) 2 п — ОО А2, 2В И1-сөз Ла * А2, 2г-на А2] А2^я п * ц? 1 Т] V — ) Это означает, что основные интервалы разлагаются на конечное число частей с n y t p, каждая из которых сохраняет постоянное значение функции. Р=1 2л

=4 Очевидно, что уравнение (4A) остается верным, и если значение 1 заменить на ly, то I n y m Zn ach EN и em C. 3°. Пусть (x)= / p(x)—/a(x) (0< < a)) (. Потому что это до конечного значения 414]§4. Функция закрытия и целостности системы 415 В числе точек-может быть выражена как сумма нескольких функций только что рассмотренного типа, для нее, благодаря 1°, справедливо равенство(4A). 4°. Наконец, переход к любой кусочно-непрерывной функции можно рассматривать как сумму функций/(x), вплоть до значения конечного числа точек.0^CA<^p= = C2-GS, в противном случае это 0. Благодаря 1°, достаточно установить справедливость

уравнения замыкания этого типа функции, чтобы доказать теорему. Ранее это было преобразование некоторых неравенств(6). Это из тождества Бесселя (2A) — если применить к функции/ — понятно 2tg2ya ? [7 () -5″(x)] 2-й 2x^S [/(x) R Ah. Отчет Поэтому неравенство(6) описывается как возрастающее 2gs [/(ч) — 5л(х)]^ч^2О (7) В то же время я считаю, что мы все еще возвращаемся к функции/обсужденной выше и можем построить для такой кусочно-постоянной функции/it. |/(ч)-/(Х)|<]Л± (8) На самом деле, следствием теоремы Кантора[n°75], интервал[a] может быть разложен на части конечного числа[a, -,

p;]0=1, 2,…поставим функцию / equal/(o0[AG,^) для каждого интервала вне интервала[a, p) в 1<^n и/(l) интервала[al,RL]так, чтобы вибрация каждой функции была меньше./=0. Очевидно, что функция/и будет задана. Если вы берете/=/—/, сила (8), 1/1 < / че — 2gs Ну и что( [7(*)]2 < ^ < т-416 глава XXIV. ряды Фурье[415 Однако первый Интеграл правого неравенства (7) l — >OO будет равен 3°и 0, а достаточно большое значение n будет меньше при том же значении 2тс [/(х) — $ » (х)]х<г , Отчет Он завершает сертификацию. В частности, замкнута система тригонометрических функций интервала [5, 2ts].

Спор по поводу задачи о колебании струны	Формула Остроградского
Случай непериодической функции	Представление функции интегралом Фурье.