Оглавление:
Приближение функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье
- Аппроксимация функции в среднем. Экстремальная игра Число сегментов в ряду Фурье. Для любой функции / (x), как p R и b l и f e n и I в этом интервале[a, B], рассмотрим другую функцию§(x), точность этого приближения выводится по-разному, конечно, в основе лежит
рассмотрение разницы. Г(Х)=/{Х) — §(Х). Если нас одинаково интересуют любые малые отклонения этих признаков от других во всех отдельных точках, то максимальное отклонение принимается за меру близости. 8=8cr[г(х)|. а^х^б Однако часто предпочтительнее рассматривать только близость их «средней»,
а не»равномерную» близость функции во всех отношениях. В этом случае их среднее Людмила Фирмаль
отклонение принимается за меру их близости б Но Или, что держать в будущем, д р А Т И Ч Е С К О Е означают K отклонения Но Однако вместо этого выражения удобнее рассматривать более простые значения: б д=Г2 (х) м х=(б-а)8″2. Но Интервал[a, B] {)(• ( O410 глава XXIV. ряды Фурье[413 Для любого набора коэффициентов Co, XY…, SP
находит среднее квадратическое отклонение для функции/(x) — в смысле приближения, l y h W e e-выполняет. Другими словами, вы хотите достичь минимального значения значения б Но Если вы подставите расширенное выражение здесь вместо EP (x), это выглядит так Б п б 2ст у (ч) ч т (х)<1+ а т = 0а удар кулаком +2 () () Т=0а к<т
- Последняя сумма исчезает из-за ортогональности этой системы. Постоянное внедрение б ХТ=у>>>SC-SP.4131§4. Функция закрытия и целостности системы 411 Итак, из всех многочленов вида(1) это отрезок (обобщенного) ряда Фурье 8P (X)=C0оо) ООО Б 2М т^м к Ю ч. (3) Т-0а Это и есть неравенство Бесселя. Интересно, что оказывается, что ряд (3) всегда сходится, независимо от функции/(x) рассматриваемого
класса. Поскольку к этому уравнению(2) добавляется новый отрицательный член, когда n увеличивается, значение y b s в A E t. чем больше N, тем ближе сумма$n (x) к»среднему», тем больше рассматриваемая функция/(x). Естественно, возникает вопрос: м ОЖ н о том, есть ли за счёт не замеченные об этом и распутывающиеся е н и я п р д и тобир.
Если это так, то сумма ZP (x)/(x) называется сходящейся к функции»в среднем»(X) (чтобы подчеркнуть это, Людмила Фирмаль
необходимо сказать, что сходимость»точек»в обычном смысле$n (x) к/(x) из тождества Бесселя равна существованию формулы n функции/(x) p сходимости[ср. (3)] ООО Б 2KPS т= = ^м(ч) s1h. Т=0а (4) 412ЧАП. XXIV. ряд Фурье[414 Это равенство называется замкнутым уравнением. Система{CPL(x)} называется закрытой, если она выполняется для непрерывной функции/(x).
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
| Различные виды формулы Фурье. | Замкнутость тригонометрической системы. |
| Преобразование Фурье | Полнота тригонометрической системы. |
