Разложение непрерывной функции в ряд тригонометрических многочленов.

Разложение непрерывной функции в ряд тригонометрических многочленов.

• Разложение непрерывной функции на ряд треугольных многочленов. Для доказательства теоремы о разложении рядов Фурье[n°402]-для простоты-ограничился кусочно-дифференциальной функцией. На самом деле класс функций, допускающих такую декомпозицию, гораздо шире, но он все же не включает в себя все непрерывные функции с периодом 2TE! [См. P°424.In в этом смысле в степенных

рядах создается положение, аналогичное тому, которое обсуждалось в n°278 относительно разложения функций. И, вместе с теоремой о разложении проволочных жгутов произвольными непрерывными функциями (описанными там), можно равномерно сходиться Л Г е б р а и Н Е С К и Х полиномами. Тонны АО+2-й С08&ч+в C & Н)(23) Y=1 Таким образом, как указывалось выше, расширение области применимости

декомпозиции достигается за счет усложнения самой природы декомпозиции.398 глава XXIV. ряды Фурье[407 Вторая Людмила Фирмаль

теорема вейерштрассе формулируется на языке последовательности, как и в первой: теорема вейерштрассе. Если функция/(x) непрерывна на интервале[-l,l]и период равен 2. /(- Я=)),/ ( * ) Представим себе, что / (x) периодически расширяется на весь интервал (—OO,+OO). ** ) Напомним, что значение age pop заполняет пробел[0, te]. Тогда в этом интервале существует последовательность треугольных полиномов, которые сходятся равномерно к/(x)*. Начнем доказательство теоремы

с простого произведения двух тригонометрических многочленов типа I и h (23) также можно представить в виде тригонометрических многочленов. Это означает, что все виды работ — Соз х * соз/х, SO8Kh * 81P/ч, 81P х * 81p 81P1x Согласно известной формуле тригонометрии, она выражается в виде такого многочлена., Соз КХ * соз/х=г соз(к+/)Х+ соз(к-/)х. Теорема доказала бы, если для любого числа e>0, что существует многочлен T (x), который существует для всех x в интервале [- l, te |/(х) — Г(Х)|<е. (24) Для четной функции/(x)вы можете

• легко установить ее. Используя первую теорему Вейерштрасса[n°278], сначала для всех значений I в интервале[-1,1], таких как A l L g e b R a и h E C K и y C, а затем, соответственно, для всех значений интервала [-1,1]. |/(возраст Соз I) — P (I) / <e). Предполагая, что g=s o z x здесь жутко Где O^x^t e получает все это Proms — |/(x) — R (ZX) / <g. Если принять во внимание четность функции/(x) и Cox, то это неравенство остается, и в момент замены x на-x, то есть оно выполняется для всех значений X в интервале[-те, те], а из-за периодичности выражение P (Cox) может быть записано в виде треугольного многочлена, о чем впервые

упоминалось. Теперь давайте превратим период 2TE в общий случай любой непрерывной функции/(x). Для равномерной функции Два. / ч ) _/(х)-/(- х ) -2 81P X Согласно доказанному, существуют такие треугольные многочлены Tg (x) и G2(x)|L (x)—*)|A (- T8 (x) / <y (—C o<x<4-o).408]§3. Интеграл Фурье 399 Таким образом, следующее | / 1 81P2X-7*81P2X / <y,| / 2 81P X-T2-81P X / < ,

И когда вы добавляете эти неравенства, I/(x)•81py2x-T3 (x) IЛюдмила Фирмаль

для функции/[x, существует треугольный многочлен G4 (x), который выглядит следующим образом |/(х+г). 81P2H-Г4 (з)|<у. Здесь x H заменяется на x — — -, и если вы представляете триангуляцию, которая была бы G4 (x) в этой перестановке T5(x), то|/(x) * co=x-T (x)|<y. наконец,из(25)и(26)дополнительно получаем(24), предполагая, что G=G 3+G5. Теорема доказана. Можно сформулировать эту теорему на языке ряда[ср. n°278]: непрерывная функция/(x)может быть разложена на ряд, сходящийся к ней, состоящий из треугольного многочлена с периодом 2^.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Случай произвольного промежутка	Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
Разложение только по косинусам или только по синусам	Представление функции интегралом Фурье.