Оглавление:
Ортогональные системы функций
- Ортогональная система функций. То, что описано в предыдущем номере, часто является моделью рассуждения, которую необходимо использовать в математическом анализе при изучении многих расширений. Назовем функции CP (x) и f (x), определяемые
интервалом[a,&] этого интервала, если произведение является целым числом, равным нулю : д ? (Л:)Ф(Х)М Х=0. Но Рассмотрим систему функций{0. (16) Но При условии HL=1 (l=0, 1, 2) система называется нормальной. Если эти условия не выполняются,
то при необходимости можно перейти в уже известную систему BU-V ) Людмила Фирмаль
Обычно дет. Наиболее важным примером ортогональной системы функций является тригонометрическая система 1, pop X, 81PX, CO8 2x, 81P2x, pop PH, 81P pH,. . . (1 7 ) В интервале, рассмотренном выше [- TS, TS], его ортогональность следует из соотношения(6), (8), (9) и(13). Но с точки зрения (10) и (14) это не нормально. Умножив
тригонометрическую функцию (17) на соответствующий множитель, вы увидите главу 378, XXIV. получение ряда Фурье [398] легко Нормальная система: 1 Pop x 81P x 2тс'[/»ТС у ТС SO8PH81P РН U t s1U t s (17 )) Пусть интервал[a задан некоторой ортогональной системой{**(18) чтобы определить коэффициент этого разложения, будем действовать так же, как и в приведенном выше частном случае,
- предполагая его возможность. То есть, умножьте обе части разложения на<RT (x) и интегрируйте их параллельно: Б и Б Я(х)<?т я Л Х=2SP Г (Х) РТ (х)м х — п-0а См. ортогональность [(15) и (16)], все интегралы с правой стороны, за исключением одного нуля, легко получаются:b===^<)/(x)<(x)^x(/and=0,1,2,…) (19) а [Выражение(7), (11), (12) частный случай этого выражения]. Ряд[19] с коэффициентами,
составленными по формуле (18), называется (обобщенным) рядом Фурье данной функции, а сами коэффициенты (обобщенные и особо простые) относительно системы{<RL (x)}-это формула (19) для случая n-й системы, а затем b C t=Y/( * ) (LX).(19а)в Конечно, то же самое замечание, которым заканчивался предыдущий номер, можно повторить и здесь. Обобщенный ряд
Фурье, построенный для этой функции/(x), связан только с f o R m al n o. И в общем случае i z между Людмила Фирмаль
функцией/(x) и ее (обобщенным) рядом Фурье、: И «F»(х). О компании (18a) Сходимость этого ряда к функции/(x) все еще подлежит исследованию, как и в случае с тригонометрическим рядом.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
