Производная по заданному направлению. Градиент

Оглавление:

Производная по заданному направлению. Градиент

Производные данного направления. M) с градиентом. Во многих вопросах важна»скорость изменения»этой точечной функции или»производная»любого направления. Давайте проясним это понятие. На любой направленной прямой (или оси)/возьмем

неподвижную точку Mo и переменную точку M (рис. 68);в соответствии с M0A4, указанного сегмента от л40 до M, то есть, если направление l40m совпадает с направлением/оси, и если она имеет знак «минус»、 Пусть A40 приближается к МО бесконечно. P R o и z} (M) O d n o y из функции 1 называется пределом C (M)-C (M) в точке

Mo по p R a из l e n и y I ») Он обозначается символом: < ^(М0) Д1' (4) Эта Людмила Фирмаль

производная характеризует «скорость изменения» функции индикатора в точке L40 в направлении/. Основываясь на некоторой системе координат OHU g, предположим, что координатная функция I (M)=I{x, y, g) 390]§4. Элементы теории поля 359 Он имеет области, которые учитывают непрерывные частные производные каждой

переменной. Тогда, как мы доказываем, производная (4) существует и представлена формулами d_i di, di0, di = _ С0 5а+^С0^+Т Г с O5b(5 ) Здесь все производные-точка L40 (x0, y0, z0), pop a, pop 3, а pop y-индуктивный Косинус оси/. Если положить L4OL4=I, то координаты переменной точки M-оси представляются в виде: x-x0+ * pop a, y=y o+1 pop p, z=z0 pop y. Уильям Роуэн (1805-1865) — английский математик.

Искомая производная является производной комплексной функции I Я0(+поп,У4″я поп-Р, 20 4-попа у) Когда=0. Согласно правилам дифференцирования сложных функций, их значения выражаются формулой(5). Вводить вектор, имеющий проекции на оси Ди Ди di_. ДХ>ду>ДГ это называется Г Р А Д и Е Н Т О М значении, который обозначается знаком 1=2gasth. Если вернуться к формуле (5) и обозначить О Р Т (единичный вектор), проведенный в направлении/через T, то можно переписать его следующим образом:=ega<1C■G-egai/I Отсюда видно, что максимальное значение этой производной

достигается тогда, когда направление I совпадает с направлением градиента и этот максимум равен Это позволяет нам теперь вместо приведенного выше формального определения градиента с помощью системы координат дать другое: градиент скалярной величины называется вектором, в котором система координат вообще не упоминается и раскрывает действительную независимость понятия градиента от его выделения. Нетрудно заметить, что направление наклона совпадает с направлением нормали к поверхности уровня (x, y, d)=C, проходящего через эту точку. Следовательно, л и р н о Е П О Л е6/(М) П О Р Ш д А Е Т О Р П Е Л Е Р А Д и Е Н Т6/. Г*)

Амилтон С и М В О Л И Ч Е С К и й В Е К т о р с » проекция» d x ‘ * du dh360CHAPTER XXIII. Людмила Фирмаль

тройной интеграл[390 Он называется «наблой»и на оси координат, представленной V. опираясь на эту нотацию, можно написать, что 2gabsg=V и. Фактически, если вы умножите вышеупомянутый «вектор» на скаляр/7, вы получите вектор проективного (6)! 1) показан радиус-вектором g*(постоянная точка O связана с переменной точкой M в пространстве, а g-ее длиной,^7 (M)=? (g), где некоторая скалярная функция положительного скалярного аргумента g с постоянной знаковой производной. Поверхность уровня, очевидно, представляет собой сферу радиуса g, где направление наклона совпадает с

радиальным или диаметрально противоположно ему,0 и l и<0. Это легко увидеть 2ga<1 (g)=0 («коэффициент внутренней теплопроводности» для данного местоположения), то можно записать= — K a z a^ — OP7 В соответствии с вышеизложенным, количество теплоты рассчитывается в случае отрицательного, то есть температура n.391] является положительной, если она падает в направлении§4. Элементы теории поля 361 Так называемый Б Е К т о р п О Т К а т е п л а = — К выражению, что оно приходит/может быть переписано вкратце:

Замена переменных в тройных интегралах	Поток вектора через поверхность.
Скалярное и векторное поля.	Формула Остроградского. Дивергенция