Оглавление:
Формула Стокса
- Стокса. Теперь обратимся к выводу формулы, связывающей Интеграл криволинейной поверхности с Интегралом кривой и служащей обобщением уже известной формулы Грина[n°346]. Сначала мы придерживаемся по отношению к поверхности (5) того же предположения, что и предыдущее число точек 5°. Функция P (x, y, d)
может быть задана с ее частными производными в нескольких пространственных областях, включая поверхность 5, которые являются смежными в этой области. Тогда формула г р г х=г г г мкг — ых — ^(1х (1У,(8) (Я) (5) Далее направление обхода контура (а) соответствует стороне поверхности (5), где
Интеграл распределен по правой стороне. Во-первых, заменить Интеграл кривой (A) на кривой Людмила Фирмаль
с Интегралом (A) на кривой:5p^=<9> (Я)(А)) I-I (O, V-V (I) (a i P)), а через него-кривая (A): x-x (I (1), y=y (I (1)), g-тогда оба интеграла сводятся к o d n o m y. Затем примените зеленую формулу к правому интегралу (9): Последнее субинтегральное выражение в развернутом виде выглядит следующим образом D2h по Дю доктор Ди\DHD2H_ ДХ, ДХ ду ДГ / ДХ) Ди ду Д (ДХ DHH\др/ДХ dhdh\Диди doodi)сделать\Ди дю doodi) 9373]§4.
Поверхностное содержание второго типа 325 Затем мы приходим в себя По интегралам уравнений Двойной интеграл (Д) (7)легко изменить к поверхности ‘($) Стреляйте точно по выбранной стороне поверхности. Это доказательство равенства(8)). Этот метод прост и плавен. Однако его легко распространить на общий случай поверхности, заключенной в кусочно-гладкий контур: пишут
- отдельно для каждой простой и гладкой детали, и полученная поверхность сглаживается. Путем круговой перестановки букв x, y, g получены два уравнения: Еще двое. Г(2ю=и yhyu-ю<1х,(1)($) \К<12 — {^г г л х — ^Г X Д X , (Г) Где O и I-новые функции для x, y и x, удовлетворяющие условию P. Сложение всех равенств (8)и(8А) даст вам результат в наиболее общем виде:P yx(3yy-f-I yx= (8А) То же самое требуется =Я(<§~в Х Г+& — Д$А Г А Г+(Я-г^) г в Х 0 ) (5) Это уравнение называется
уравнением Стокса, и снова мы можем видеть, что Л Е Н И Е О б х о д а контуры с т о р о н а плоскость и н а п р а плоскость по правилам, установленным при n°362. В качестве части поверхности (5) плоскости возьмем плоскую область ( / ) на XY, так что g=0, уравнение Около Р<1х — \ — <^(1У=у(^—^}lhlu> _ (я)'(я) * ) В заключение следует отметить, что мы использовали наличие Dr D2X d2x и производные непрерывности не участвуют в конечном результате. На самом деле, это выражение сделано без этих предположений.326 глава XXII. площадь поверхности.
Поверхность Таким образом, последний является частным случаем формулы Стокса*). *) Чтобы облегчить Людмила Фирмаль
запоминание уравнений Стокса, отметим, что в правом Интеграле есть первый член—тот же, что и в уравнении Грина, а остальные имеют буквы x, y, g, P, r o t и h a s o v th T r e l k и, если смотреть из v e r x. Наконец, следует отметить, что поверхностная фракция второго типа в Формуле Стокса может быть заменена поверхностной фракцией первого типа. Тогда эта формула P C1X— / — O b / y «» I-P(1%==: (1) =Я [(1-е)-м г-е) о»(5) Кроме того, Sovx, Sovco 8v означает индуктивный Косинус нормали, соответствующий стороне выбора поверхности. Например, поставить P=y2+22, C и»проверить»
уравнение Стокса? = -(» — 2″ 7? = x2 4-U2 и (8) поверхность, вырезанная цилиндром из сферы x2 4 «U2=2gh x2 4-U2 4″ 22=2/?х (7?>г,з>0). Опираясь на параметрическое представление кривой x-G(1 4 » CO8g), y=G81P I, 2-Y2G (P-G) 1 4-c°z (0I2l)),*для интегрирования кривой вполне возможно в виде нормального интеграла.: Однако первый и третий члены в фигурных скобках умножаются на b / 7, и если мы выполним остаток вычислений с Интегралом от (pop I) y-pop и (pop) y-pop и (zero) для периодичности Косинуса, то получим 2krg2. Второй тип фракции площади поверхности Два. YG4-(2-x) YH YH4-(x-y) YH&y, 374]§4.
Площадь поверхности второго типа 327 Распространяясь на сторону e x n y указанной поверхности, сначала преобразуем ее в Интеграл первого типа: 2 [(y-2) Pop X+(z-x) Pop p+(x-x) Pop b?8. С тех пор Х-я г г С05 Х=_>S08r.=^-,С08^= _ > Затем подставьте эти выражения для упрощения и уменьшения требуемого интеграла следующим образом: Из-за симметрии поверхности относительно плоскости XS Интеграл равен нулю. Остальные интегралы преобразуются снова Ко второму типу интеграции:
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
