Замена переменных в двойных интегралах

Оглавление:

Замена переменных в двойных интегралах

Замена переменных двойными интегралами. Рассмотрим двойной Интеграл» / {x, y) X AU, (О) И (13) Здесь область (P) окружена простым кусочно-гладким контуром (5), и функция/(x, y) смежна в этой области.

Предположим, что область (P) связана с Формулой (1): X=X$, 7]), Y=Y$, H) В некоторых областях(E) на плоскости мы следуем всем условиям, оцененным в уравнении n°353 (10), представляющем область фигуры (O) в криволинейной координате.

Поставим задачу заменить переменную в Интеграле (13) и представить ее в виде интеграла, Людмила Фирмаль

распространенного на область (D).286 глава XXI. двойной Интеграл[356 Для этого разделите область (A) с помощью нескольких сеток графически гладких кривых (a) 0=1,2,… Затем соответствующая (также кусочно-гладкая) кривая в области ( / )) разбивается на части (D) (рис. 43, А, Б). Каждая часть(C) Выберем p r o и z V o l n o на точке

(x^y^наконец, произведем интегрирование суммы интегралов(13): «=З У Д О » Он имеет этот Интеграл в качестве предела, когда наибольший из диаметров области становится равным нулю. Если применить формулу (11) [n°354]к каждой части (O/), то получится Og=|/ / (Gr7];• / * D, -, где (B/, t] -) — некоторая определенная точка области (A -). Если

заменить сумму o (G)1 на это выражение, то 0=E/(/>UD I ID I D g I Точка (B) задается с помощью теоремы и не свободна в своем выборе, но точка (XY y^берется в область (C). Используя этот произвол, мы выбираем X1=x&, CD, Y1=Y&’ — PD>, то есть точку области (Hg, y^) в качестве ее точки (O;). ‘アクションpotential.Us 7101d<; 3571§5. Замена переменных в двойном Интеграле 287 В этом виде она явно является

интегральной суммой интегралов /(•&h), d’s, * h))|/0> (14) (да.) Существование этого интеграла следует из того факта, что функция частичной плотности непрерывна. Если теперь сделать диаметр всех областей (DG) стремится к нулю, то по непрерывности функции (1) и диаметру всех областей(!))) Также стремится к нулю. Тогда сумма вывода, Как правило, Интеграл(13) и Интеграл(14). Таким образом, м§/(х,г)s1xs1u=§С), Макс ($, к)|(15)(О)(а)

Эта формула решает задачу-замену переменных двойным интегралом. Выражение (10) явно Людмила Фирмаль

является тем частным случаем, где/(x, y)=. Таким образом, чтобы заменить переменную двойным интегралом (13), нужно не только заменить функцию f вместо x и y, но и заменить выражение (1). Здесь, с учетом соображений, аналогичных приведенным в n°354,4°, мы можем рассчитать число случаев, когда условия, наложенные на преобразование (15), нарушаются вдоль отдельных точек или отдельных линий.

Дополнительные замечания	Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области
Геометрический вывод	Параметрическое представление поверхности